Mulțimea numerelor raționale

Elevii studiază numerele raționale, operațiile cu acestea și proprietățile lor pe dreapta numerelor.

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca fracție a/b, unde a și b sunt numere întregi, iar b este diferit de zero. Mulțimea lor se notează cu Q. Aici intră fracțiile obișnuite (3/4, -5/2), numerele întregi (pentru că 7 = 7/1) și fracțiile zecimale finite sau periodice.

Atenție la relația dintre mulțimi — se cere des la examen:

• N ⊂ Z ⊂ Q: orice număr natural e întreg, orice întreg e rațional.
• Reciproca NU e adevărată: -3/5 este rațional, dar nu este întreg.

Aceeași valoare poate fi scrisă în mai multe feluri: 1/2 = 2/4 = 5/10 = 0,5. Toate aceste scrieri reprezintă același număr rațional. Forma cea mai simplă este fracția ireductibilă — cea în care numărătorul și numitorul nu mai au divizori comuni în afară de 1. La Evaluarea Națională, rezultatul final se dă întotdeauna ca fracție ireductibilă sau ca număr zecimal.

O fracție zecimală poate fi finită (0,25) sau periodică (0,(3) = 1/3, unde cifra 3 se repetă la nesfârșit). Ambele sunt numere raționale, pentru că pot fi transformate în fracții ordinare.

Axa numerelor și compararea numerelor raționale

Pe axa numerelor, fiecare număr rațional are un punct bine stabilit. Numerele pozitive stau la dreapta lui 0, cele negative la stânga. Regula de aur a comparării: dintre două numere, mai mare este cel aflat mai la dreapta pe axă.

De aici decurg reguli pe care mulți le încurcă:

• orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ;
• dintre două numere negative, mai mare este cel mai apropiat de zero: -1/2 > -3/2, deși 1/2 < 3/2.

Ca să compari două fracții pozitive, le aduci la același numitor și compari numărătorii, sau le transformi în numere zecimale. De exemplu: 3/4 și 5/7 → 21/28 și 20/28, deci 3/4 > 5/7.

Opusul unui număr rațional a este numărul -a, aflat la aceeași distanță de 0, dar de partea cealaltă a axei: opusul lui 2/3 este -2/3, iar opusul lui -5 este 5. Suma dintre un număr și opusul său este mereu 0.

Confuzia clasică: elevii cred că -7/2 > -3/2 pentru că 7 > 3. Fals — pe axă, -7/2 e mai departe de zero spre stânga, deci este mai mic.

Adunarea și scăderea numerelor raționale

Ca să aduni sau să scazi fracții, ai nevoie de același numitor. Pașii siguri:

• aduci fracțiile la numitorul comun (cel mai mic multiplu comun al numitorilor);
• aduni sau scazi doar numărătorii; numitorul rămâne neschimbat;
• simplifici rezultatul până obții o fracție ireductibilă.

Exemplu: 5/6 + 3/4. Numitorul comun al lui 6 și 4 este 12, deci 10/12 + 9/12 = 19/12.

La numerele cu semn se aplică regulile de la numerele întregi:

• semne la fel → aduni valorile și păstrezi semnul: (-2/5) + (-1/5) = -3/5;
• semne diferite → scazi valoarea mai mică din cea mai mare și pui semnul numărului cu valoare absolută mai mare: (-7/3) + 4/3 = -3/3 = -1.

Scăderea se transformă mereu în adunare cu opusul: a - b = a + (-b). Astfel 1/2 - (-1/3) devine 1/2 + 1/3 = 5/6.

Greșeala care costă puncte: adunarea numitorilor între ei (1/2 + 1/3 NU este 2/5). Numitorul arată în câte părți e împărțit întregul — el nu se adună niciodată.

Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

Înmulțirea fracțiilor este operația cea mai directă: se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: (a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d). Nu este nevoie de numitor comun! Înainte de a înmulți, e inteligent să simplifici în cruce: la 4/9 · 3/8, simplifici 4 cu 8 și 3 cu 9 și obții direct 1/6.

Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversul celei de-a doua fracții: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c). Inversul lui 3/5 este 5/3; inversul lui -2 este -1/2. Numărul 0 nu are invers — împărțirea la zero nu există.

Regula semnelor este aceeași ca la întregi:

• plus cu plus sau minus cu minus → rezultat pozitiv;
• semne diferite → rezultat negativ.

La un produs cu mai mulți factori, numeri semnele minus: număr par de minusuri → plus, număr impar → minus.

Două capcane frecvente: elevii inversează prima fracție în loc de a doua la împărțire, sau caută numitor comun la înmulțire (inutil și sursă de greșeli de calcul). Reține: numitor comun ai nevoie DOAR la adunare și scădere.

Modulul unui număr rațional

Modulul (valoarea absolută) unui număr rațional a, notat |a|, este distanța de la punctul care îl reprezintă până la origine pe axa numerelor. Distanța nu poate fi negativă, deci modulul este întotdeauna mai mare sau egal cu 0.

Definiția pe cazuri, exact cum se cere:

• dacă a ≥ 0, atunci |a| = a;
• dacă a < 0, atunci |a| = -a (adică opusul lui a, care e pozitiv).

Exemple: |3/4| = 3/4; |-5/2| = 5/2; |0| = 0.

Proprietăți utile în exerciții:

• |a| = |-a| — un număr și opusul său au același modul;
• |a · b| = |a| · |b|;
• ecuația |x| = m, cu m > 0, are două soluții: x = m și x = -m; ecuația |x| = 0 are o singură soluție; iar |x| = număr negativ nu are soluții.

Greșeala tipică: la |x| = 4, mulți dau doar soluția x = 4 și pierd jumătate din punctaj — există și x = -4, pentru că ambele puncte sunt la distanța 4 de origine. Altă confuzie: a crede că -a este mereu negativ; dacă a = -3, atunci -a = 3, un număr pozitiv.

Ordinea operațiilor și calcule cu paranteze

Într-un exercițiu cu mai multe operații, ordinea este obligatorie:

• întâi puterile;
• apoi înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta;
• la final adunările și scăderile.

Dacă există paranteze, se rezolvă mai întâi cele rotunde, apoi cele drepte, apoi acoladele.

La puterile numerelor raționale, toată fracția se ridică la putere: (2/3)² = 4/9 — și numărătorul, și numitorul. Atenție la semn: (-2/3)² = 4/9 (pozitiv, exponent par), dar (-2/3)³ = -8/27 (negativ, exponent impar). Diferența dintre (-2)² = 4 și -2² = -4 este o capcană clasică: în al doilea caz, puterea se aplică doar lui 2, iar minusul rămâne în față.

Exemplu rezolvat: [1/2 + (-1/3)] · 6 = [3/6 - 2/6] · 6 = (1/6) · 6 = 1.

Sfat de examen: nu sări pași. Scrie fiecare linie de calcul, pentru că la Evaluarea Națională se punctează metoda, nu doar rezultatul final. O greșeală de semn la primul pas, dusă corect mai departe, primește parțial din punctaj — dar un calcul din cap, greșit, primește zero.

Test — 6 întrebări ca la examen