Ecuații și inecuații

Elevii rezolvă ecuații și inecuații de gradul I cu o necunoscută, precum și sisteme simple de ecuații.

Ce este o ecuație și ce înseamnă a o rezolva

O ecuație este o egalitate în care apare cel puțin o necunoscută (de obicei notată x). O soluție a ecuației este valoarea necunoscutei pentru care egalitatea devine adevărată. A rezolva ecuația înseamnă a găsi toate soluțiile ei.

Ecuația de gradul I cu o necunoscută are forma generală ax + b = 0, cu a ≠ 0, și are întotdeauna exact o soluție: x = -b/a.

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții. Rezolvarea înseamnă transformarea ecuației în ecuații echivalente tot mai simple, până rămâne x = ceva.

Operațiile care păstrează echivalența — proprietățile egalităților:

• poți aduna sau scădea același număr în ambii membri;
• poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr diferit de zero.

De aici vine regula practică a trecerii dintr-un membru în altul cu semn schimbat: din x + 5 = 12 rezultă x = 12 - 5, pentru că de fapt am scăzut 5 din ambii membri.

Verificarea este obligatorie și aduce siguranță: înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială. Pentru x = 7 în x + 5 = 12: 7 + 5 = 12, adevărat. La examen, verificarea te scapă de greșelile de semn care altfel trec neobservate.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul I pas cu pas

Algoritmul standard, în ordinea sigură:

• desfaci parantezele (distributivitate, atenție la minus în față);
• elimini numitorii, înmulțind toată ecuația cu numitorul comun;
• grupezi: termenii cu x într-un membru, numerele în celălalt, cu semn schimbat la trecere;
• reduci termenii asemenea;
• împarți la coeficientul lui x.

Exemplu complet: 3(x - 2) = x + 8 → 3x - 6 = x + 8 → 3x - x = 8 + 6 → 2x = 14 → x = 7.

Exemplu cu numitori: (x+1)/2 - (x-1)/3 = 1. Numitorul comun este 6, înmulțim totul cu 6: 3(x+1) - 2(x-1) = 6 → 3x + 3 - 2x + 2 = 6 → x + 5 = 6 → x = 1. Observă +2 din -2(x-1) = -2x + 2 — aici cade cel mai des punctajul.

Cazuri speciale care apar în subiecte-capcană: dacă după reducere obții 0 · x = 5, ecuația nu are soluții; dacă obții 0 · x = 0, orice număr real este soluție.

Greșeli frecvente: la înmulțirea cu numitorul comun, elevii înmulțesc doar termenii cu fracție și uită termenii liberi (acel 1 din dreapta trebuie să devină 6); la trecerea termenilor dintr-un membru în altul uită schimbarea semnului.

Inecuații de gradul I și reprezentarea soluțiilor pe axă

O inecuație este o inegalitate cu necunoscută: 2x - 3 < 5. Spre deosebire de ecuație, soluția nu este un singur număr, ci de regulă o mulțime infinită de numere — un interval de pe axă.

Se rezolvă cu aceiași pași ca ecuația, cu o singură regulă în plus, dar decisivă: când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. Din -2x < 6, împărțind la -2, rezultă x > -3 (semnul < a devenit >).

De ce? Pe axă, înmulțirea cu -1 oglindește numerele față de origine: din 2 < 3 rezultă -2 > -3. Ignorarea acestei reguli este, de departe, greșeala care golește punctajul la inecuații.

Exemplu: 3 - 2x ≤ 9 → -2x ≤ 6 → x ≥ -3.

Scrierea soluției: mulțimea soluțiilor se dă ca interval sau prin enumerare, după cerință:

• x > -3 pe axa numerelor reale → intervalul (-3, +∞), cu cerc gol în -3 (nu e inclus);
• x ≥ -3 → intervalul [-3, +∞), cu cerc plin în -3 (este inclus);
• dacă cerința spune „x număr natural” și soluția e x ≤ 3, răspunsul este mulțimea {0, 1, 2, 3}.

Citirea atentă a cerinței e vitală: multe subiecte cer doar soluțiile naturale sau întregi dintr-un interval, iar cine dă intervalul întreg nu răspunde la întrebare.

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

Metoda algebrică transformă un text în ecuație. Pașii care se punctează la examen:

• alegerea necunoscutei: notezi cu x mărimea cerută (sau cea mai mică dintre mărimi);
• traducerea textului: exprimi celelalte mărimi în funcție de x;
• scrierea ecuației din condiția problemei;
• rezolvarea și interpretarea: verifici dacă soluția are sens (vârsta nu poate fi negativă, numărul de elevi trebuie natural).

Exemplu clasic: suma a trei numere naturale consecutive este 51. Notăm numerele x, x+1, x+2. Ecuația: x + x + 1 + x + 2 = 51 → 3x + 3 = 51 → x = 16. Numerele sunt 16, 17, 18.

Traduceri care trebuie stăpânite:

• „cu 5 mai mare decât x” → x + 5; „de 5 ori mai mare” → 5x;
• „cu 3 mai mic decât dublul lui x” → 2x - 3;
• „un sfert din x” → x/4;
• vârste peste 6 ani: dacă acum tata are x ani, peste 6 ani va avea x + 6 — ambele persoane îmbătrânesc, nu doar una.

Capcana textelor: confuzia dintre „cu... mai mare” (adunare) și „de... ori mai mare” (înmulțire). La problemele cu vârste, greșeala tipică este să adaugi anii doar unei singure persoane. La final, formulează răspunsul în cuvinte — subiectele de Evaluare cer concluzia explicită.

Sisteme de două ecuații cu două necunoscute – introducere

Unele probleme au două mărimi necunoscute legate prin două condiții. Ele conduc la un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute: perechea (x, y) care verifică simultan ambele ecuații este soluția sistemului.

Metoda substituției: exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.

Exemplu: x + y = 10 și x - y = 4. Din prima: x = 10 - y. Înlocuim în a doua: 10 - y - y = 4 → 10 - 2y = 4 → y = 3, apoi x = 7. Soluția: (x, y) = (7, 3).

Metoda reducerii: aduni sau scazi ecuațiile membru cu membru ca să dispară o necunoscută. La același sistem, adunând cele două ecuații: 2x = 14 → x = 7, apoi y = 3. Dacă coeficienții nu se potrivesc, înmulțești mai întâi una dintre ecuații cu un număr convenabil.

Verificarea se face în ambele ecuații: 7 + 3 = 10 și 7 - 3 = 4 — corect. O pereche care verifică doar o ecuație NU este soluția sistemului — capcană frecventă la itemii cu variante de răspuns.

Problemă tip: 25 de bilete la 10 lei și 15 lei au costat în total 300 de lei. Sistemul: x + y = 25 și 10x + 15y = 300. Din prima, x = 25 - y, înlocuim: 250 - 10y + 15y = 300 → 5y = 50 → y = 10, x = 15. Răspuns în cuvinte: 15 bilete de 10 lei și 10 bilete de 15 lei.

Test — 6 întrebări ca la examen