Triunghiul

Elevii studiază proprietățile triunghiurilor, clasificarea acestora și relații metrice.

Clasificarea triunghiurilor

Triunghiul este poligonul cu trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri — cea mai simplă și cea mai studiată figură a geometriei.

Clasificarea după laturi:

• triunghi scalen (oarecare): toate laturile au lungimi diferite;
• triunghi isoscel: are cel puțin două laturi congruente; latura necongruentă se numește bază;
• triunghi echilateral: toate cele trei laturi sunt congruente.

Clasificarea după unghiuri:

• triunghi ascuțitunghic: toate unghiurile sunt ascuțite (sub 90°);
• triunghi dreptunghic: are un unghi drept (exact 90°); laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept — cea mai lungă — se numește ipotenuză;
• triunghi obtuzunghic: are un unghi obtuz (peste 90°).

Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două unghiuri obtuze — suma ar depăși 180°.

Proprietăți de reținut la triunghiurile speciale:

• în triunghiul isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente; reciproc, dacă două unghiuri sunt congruente, triunghiul e isoscel;
• în triunghiul echilateral, toate unghiurile au 60°;
• într-un triunghi, latura mai mare se opune unghiului mai mare și invers.

Confuzie clasică: „isoscel” nu exclude „echilateral” — triunghiul echilateral este un caz particular de triunghi isoscel, așa cum pătratul e un caz particular de dreptunghi. Cele două clasificări (după laturi și după unghiuri) se pot combina: există triunghi dreptunghic isoscel, obtuzunghic isoscel și așa mai departe.

Suma unghiurilor. Unghiul exterior

Teorema sumei unghiurilor: în orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este 180°. E cel mai folosit rezultat al geometriei de gimnaziu: dacă știi două unghiuri, îl afli pe al treilea prin scădere.

Consecințe imediate:

• într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare (suma lor este 90°);
• într-un triunghi echilateral, fiecare unghi are 180° : 3 = 60°;
• într-un triunghi isoscel cu unghiul dintre laturile congruente de măsură v, unghiurile de la bază au fiecare (180° - v) : 2.

Unghiul exterior al unui triunghi este unghiul adiacent și suplementar unui unghi al triunghiului — îl obții prelungind una dintre laturi.

Teorema unghiului exterior: măsura unui unghi exterior este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare neadiacente lui (cele „din partea opusă”).

Exemplu: dacă unghiurile interioare din B și C au 50° și 60°, unghiul exterior din A are 50° + 60° = 110°; verificare prin suplementaritate: unghiul interior din A are 180° - 110° = 70°, iar 70° + 50° + 60° = 180°.

Greșeala tipică: se confundă „unghiurile neadiacente” cu unghiul de lângă el — unghiul exterior din A nu are nicio legătură directă cu unghiul interior din A în afara suplementarității; suma se face cu celelalte două unghiuri ale triunghiului.

La problemele cu unghiuri exprimate prin necunoscute (de exemplu x, 2x, 3x), scrie ecuația x + 2x + 3x = 180° și rezolvă — schema acoperă un item aproape sigur la Evaluarea Națională.

Inegalitatea triunghiului

Nu orice trei numere pot fi lungimile laturilor unui triunghi. Inegalitatea triunghiului spune că, în orice triunghi, fiecare latură este strict mai mică decât suma celorlalte două:

• a < b + c, b < a + c, c < a + b.

Intuiția: drumul direct dintre două vârfuri (o latură) e mai scurt decât ocolul prin al treilea vârf (suma celorlalte două laturi). Dacă o „latură” ar fi egală cu suma celorlalte două, cele trei puncte ar fi coliniare și triunghiul s-ar turti pe o dreaptă.

Verificare practică: pentru numerele 3, 5, 9 — este 9 < 3 + 5? Nu, pentru că 9 > 8, deci nu există un triunghi cu aceste laturi. Truc de viteză: e suficient să verifici inegalitatea pentru latura cea mai mare; dacă ea trece testul, celelalte două inegalități sunt automat adevărate.

Formularea completă, cerută uneori la teorie, include și diferența: fiecare latură este mai mare decât modulul diferenței celorlalte două: |b - c| < a < b + c.

Aplicație tipică: „laturile unui triunghi isoscel au 4 cm și 9 cm; aflați perimetrul.” A treia latură poate fi 4 sau 9. Varianta 4, 4, 9 pică testul (4 + 4 = 8 < 9), deci triunghiul este 4, 9, 9, cu perimetrul 22 cm. Cine uită inegalitatea dă două răspunsuri sau îl alege pe cel greșit — item clasic de examen construit exact pe această capcană.

Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor: P = a + b + c — apare constant în probleme combinat cu inegalitatea sau cu proprietățile triunghiurilor isoscele și echilaterale.

Linii importante în triunghi

În orice triunghi se pot construi patru familii de linii, fiecare cu proprietățile ei — la examen se cere să le deosebești clar:

• Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Cele trei mediane sunt concurente în centrul de greutate G al triunghiului, situat pe fiecare mediană la 2/3 de vârf și 1/3 de bază.
• Înălțimea este perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). Cele trei înălțimi sunt concurente în ortocentru H. La triunghiul obtuzunghic, ortocentrul cade în afara triunghiului; la cel dreptunghic, ortocentrul este chiar vârful unghiului drept.
• Bisectoarea pleacă dintr-un vârf și împarte unghiul în două unghiuri congruente. Cele trei bisectoare sunt concurente în centrul cercului înscris I — cercul care atinge toate laturile pe interior.
• Mediatoarea este perpendiculara pe o latură, dusă prin mijlocul ei — atenție, mediatoarea nu trece neapărat printr-un vârf. Cele trei mediatoare sunt concurente în centrul cercului circumscris O — cercul care trece prin toate vârfurile.

Confuziile care costă puncte:

• mediana vs mediatoarea: amândouă implică mijlocul laturii, dar mediana pleacă din vârf, iar mediatoarea e perpendiculară pe latură și nu-i pasă de vârf;
• înălțimea vs mediatoarea: amândouă sunt perpendiculare pe latură, dar înălțimea pleacă din vârful opus, mediatoarea din mijlocul laturii.

În triunghiul isoscel, mediana, înălțimea, bisectoarea și mediatoarea corespunzătoare bazei coincid. În triunghiul echilateral, toate cele patru linii coincid pentru fiecare latură, iar cele patru puncte remarcabile (G, H, I, O) se suprapun într-un singur punct.

Congruența triunghiurilor. Cazurile de congruență

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile și toate unghiurile respectiv congruente — adică pot fi suprapuse perfect. Scriem △ABC ≡ △DEF, iar ordinea literelor contează: A corespunde lui D, B lui E, C lui F.

Nu e nevoie să verifici toate cele șase perechi de elemente. Ajung trei, alese potrivit — acestea sunt cazurile de congruență pentru triunghiuri oarecare:

• LLL (latură-latură-latură): cele trei laturi respectiv congruente;
• LUL (latură-unghi-latură): două laturi și unghiul cuprins între ele respectiv congruente;
• ULU (unghi-latură-unghi): două unghiuri și latura cuprinsă între ele respectiv congruente.

Detaliul care decide corectitudinea: la LUL, unghiul trebuie să fie între cele două laturi. Două laturi și un unghi necuprins nu garantează congruența — se pot construi două triunghiuri diferite cu aceleași trei elemente. La fel, la ULU latura trebuie să fie cea dintre cele două unghiuri (deși, cunoscând două unghiuri, îl afli mereu pe al treilea din suma de 180°).

Atenție și la capcana UUU: trei unghiuri congruente nu dau triunghiuri congruente — un triunghi mic și unul mare pot avea exact aceleași unghiuri (au aceeași formă, dar mărimi diferite).

Cum se redactează o demonstrație de congruență la examen:

1. numești cele două triunghiuri cu vârfurile în ordinea corespondenței; 2. scrii cele trei perechi de elemente congruente, cu justificarea fiecăreia (din ipoteză, latură comună, unghiuri opuse la vârf etc.); 3. numești cazul (LLL, LUL sau ULU) și scrii concluzia.

Din congruența triunghiurilor rezultă apoi congruența celorlalte elemente corespondente — aceasta e metoda standard prin care se demonstrează că două segmente sau două unghiuri sunt congruente.

Test — 6 întrebări ca la examen