Patrulatere

Elevii studiază clasificarea și proprietățile patrulaterelor, cu accent pe paralelogram și cazurile sale particulare.

Patrulaterul — noțiuni generale

Patrulaterul este poligonul cu patru laturi, patru vârfuri și patru unghiuri. Elementele lui:

• laturile: segmentele care îl mărginesc; două laturi cu un vârf comun se numesc laturi alăturate (consecutive), iar două laturi fără vârf comun — laturi opuse;
• vârfurile: două vârfuri care nu sunt capetele aceleiași laturi se numesc vârfuri opuse;
• diagonalele: segmentele care unesc două vârfuri opuse; orice patrulater are exact două diagonale.

Rezultatul fundamental al capitolului: suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°. Demonstrația e o idee simplă și frumoasă: o diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri, iar fiecare triunghi aduce 180°, deci 2 · 180° = 360°.

Aplicare directă: dacă trei unghiuri ale unui patrulater au 80°, 95° și 110°, al patrulea are 360° - (80° + 95° + 110°) = 75°.

Greșeala des întâlnită: folosirea sumei de 180° (de la triunghi) și la patrulater, din inerție. Verifică mereu cu ce figură lucrezi înainte să scrii suma unghiurilor.

Perimetrul patrulaterului este suma lungimilor celor patru laturi.

Patrulaterele studiate în clasa a VI-a se organizează într-o familie: paralelogramul e cazul general cu laturile opuse paralele, iar dreptunghiul, rombul și pătratul sunt paralelograme particulare; trapezul stă separat, cu o singură pereche de laturi paralele. Înțelegerea acestei ierarhii te scutește de memorat: proprietățile se moștenesc de sus în jos.

Paralelogramul și proprietățile sale

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele două câte două.

Proprietățile paralelogramului — fiecare se cere ca enunț la examen:

• laturile opuse sunt congruente două câte două;
• unghiurile opuse sunt congruente;
• unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare — suma lor este 180°, pentru că sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei dintre două paralele;
• diagonalele se înjumătățesc — adică se intersectează una pe cealaltă la mijloc; punctul lor de intersecție este centrul de simetrie al paralelogramului.

Atenție: la paralelogramul oarecare, diagonalele nu sunt congruente și nu sunt perpendiculare — aceste proprietăți apar doar la cazurile particulare (dreptunghi, respectiv romb).

La fel de importante sunt reciprocele — criteriile prin care demonstrezi că un patrulater este paralelogram. Un patrulater convex este paralelogram dacă îndeplinește oricare una dintre condițiile:

• laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția);
• laturile opuse sunt congruente două câte două;
• două laturi opuse sunt și paralele, și congruente;
• unghiurile opuse sunt congruente două câte două;
• diagonalele se înjumătățesc.

Capcana de raționament: condiția „două laturi opuse paralele și celelalte două congruente” nu garantează paralelogramul — un trapez isoscel are exact această configurație și nu e paralelogram. Paralela și congruența trebuie să se refere la aceeași pereche de laturi.

Dacă un unghi al paralelogramului are 70°, atunci unghiul opus are tot 70°, iar cele două unghiuri rămase au câte 110° — o schemă de calcul care apare aproape identic în fiecare culegere.

Dreptunghiul

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. Din suma de 360° și proprietățile paralelogramului rezultă imediat că toate cele patru unghiuri sunt drepte.

Pentru că este paralelogram, dreptunghiul moștenește toate proprietățile acestuia: laturile opuse paralele și congruente, diagonalele se înjumătățesc. În plus, are o proprietate proprie:

• diagonalele dreptunghiului sunt congruente.

Combinând: diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc, deci punctul lor de intersecție se află la egală distanță de toate cele patru vârfuri — este centrul cercului care trece prin vârfuri.

Însă diagonalele dreptunghiului nu sunt, în general, perpendiculare — sunt perpendiculare doar dacă dreptunghiul este pătrat. Aceasta e una dintre confuziile cel mai des sancționate la examen: perpendicularitatea diagonalelor e semnătura rombului, nu a dreptunghiului.

Criterii — cum arăți că un paralelogram este dreptunghi:

• are un unghi drept, sau
• are diagonalele congruente.

Observă structura: mai întâi demonstrezi că patrulaterul e paralelogram, apoi adaugi proprietatea specială. Dacă sari peste primul pas, criteriul nu funcționează: un patrulater oarecare cu diagonale congruente nu e neapărat dreptunghi (trapezul isoscel are și el diagonale congruente).

În desene și în probleme, dreptunghiul apare cu lungimea L și lățimea l; perimetrul este P = 2(L + l). O diagonală împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente — legătura cu capitolul despre triunghiuri pe care problemele o exploatează des.

Rombul și pătratul

Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente — și atunci, din congruența laturilor opuse, toate cele patru laturi sunt congruente.

Pe lângă proprietățile moștenite de la paralelogram, rombul are două proprietăți proprii, amândouă despre diagonale:

• diagonalele rombului sunt perpendiculare;
• diagonalele rombului sunt bisectoarele unghiurilor din vârfurile pe care le unesc.

Diagonalele rombului nu sunt însă congruente în general — congruența diagonalelor e proprietatea dreptunghiului. Cele două diagonale împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente — configurație pe care problemele o folosesc intens.

Criterii — un paralelogram este romb dacă: are două laturi alăturate congruente, sau diagonalele perpendiculare, sau o diagonală este bisectoarea unui unghi.

Pătratul este patrulaterul care e și dreptunghi, și romb în același timp. De aceea le cumulează toate proprietățile:

• toate laturile congruente (de la romb);
• toate unghiurile drepte (de la dreptunghi);
• diagonalele congruente (de la dreptunghi), perpendiculare (de la romb), se înjumătățesc (de la paralelogram) și sunt bisectoare — formează unghiuri de 45° cu laturile.

Ierarhia trebuie citită corect, în ambele sensuri:

• orice pătrat este dreptunghi, romb și paralelogram;
• dar nu orice dreptunghi e pătrat și nu orice romb e pătrat.

La itemii de tip adevărat/fals, enunțul „orice romb este pătrat” este fals, iar „orice pătrat este romb” este adevărat — direcția afirmației face toată diferența. Perimetrul rombului și al pătratului cu latura l este P = 4l.

Trapezul

Trapezul este patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele. Laturile paralele se numesc baze — baza mare B și baza mică b — iar celelalte două sunt laturile neparalele. Cuvântul „exact” din definiție e important: dacă ambele perechi ar fi paralele, figura ar fi paralelogram, nu trapez.

Clasificarea trapezelor:

• trapez oarecare: laturile neparalele au lungimi diferite și nu formează unghiuri drepte cu bazele;
• trapez dreptunghic: una dintre laturile neparalele este perpendiculară pe baze — are două unghiuri drepte;
• trapez isoscel: laturile neparalele sunt congruente.

Proprietățile trapezului isoscel — perechea de rezultate cerută la examen:

• unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente;
• diagonalele sunt congruente.

Pentru orice trapez, unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplementare (sumă 180°), pentru că bazele sunt paralele și latura neparalelă joacă rol de secantă. Deci într-un trapez cu unghiul de 65° la baza mare, unghiul de la baza mică, de aceeași parte, are 115°.

Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele; ea este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor: lm = (B + b)/2. De exemplu, la baze de 10 cm și 6 cm, linia mijlocie are 8 cm.

Greșelile tipice la trapez:

• se aplică proprietăți de paralelogram (laturi opuse congruente, diagonale care se înjumătățesc) — trapezul nu le are;
• la trapezul isoscel se scrie că unghiurile opuse sunt congruente — corect este: unghiurile alăturate aceleiași baze;
• la linia mijlocie se face suma bazelor fără împărțirea la 2.

Test — 6 întrebări ca la examen