Dreapta. Segmentul. Unghiul

Elevii aprofundează noțiuni de geometrie plană legate de drepte, segmente și unghiuri.

Drepte paralele și drepte perpendiculare

Două drepte din același plan pot fi în două situații: se intersectează într-un punct sau nu se intersectează deloc.

• Două drepte care nu au niciun punct comun se numesc drepte paralele; scriem a ∥ b. Gândește-te la șinele de tren.
• Două drepte care se intersectează formând un unghi drept (de 90°) se numesc drepte perpendiculare; scriem a ⊥ b. Gândește-te la colțul unei foi de caiet.

Atenție la o subtilitate: două drepte care se intersectează sub un unghi diferit de 90° sunt concurente, dar nu perpendiculare. Perpendicularitatea cere exact 90°.

Două rezultate importante, folosite mereu în demonstrații:

• Axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.
• Printr-un punct dat se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

Relațiile dintre paralelism și perpendicularitate se cer la examen:

• două drepte diferite, perpendiculare pe aceeași dreaptă, sunt paralele între ele;
• dacă a ∥ b și c ⊥ a, atunci c ⊥ b — o dreaptă perpendiculară pe una din două paralele este perpendiculară și pe cealaltă;
• dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c — paralelismul se transmite (este tranzitiv).

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului de perpendiculară dus din punct pe dreaptă — este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă, orice alt drum fiind mai lung.

Segmentul. Mijlocul unui segment

Segmentul [AB] este porțiunea de dreaptă cuprinsă între punctele A și B, împreună cu aceste puncte, numite capetele segmentului. Lungimea segmentului se notează AB (fără paranteze).

Două segmente care au aceeași lungime se numesc segmente congruente; scriem [AB] ≡ [CD]. La desen, segmentele congruente se marchează cu liniuțe identice.

Mijlocul unui segment este punctul M de pe segment care îl împarte în două segmente congruente: [AM] ≡ [MB], adică AM = MB = AB/2.

Ca să arăți la examen că M e mijlocul lui [AB], trebuie verificate două condiții, nu una:

• M se află pe segmentul [AB] (adică între A și B);
• AM = MB.

Dacă verifici doar egalitatea distanțelor, nu e suficient: există o infinitate de puncte cu AM = MB care nu sunt pe segment (toate punctele mediatoarei). Aceasta e o capcană frecventă în probleme.

Legat de aceasta, mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment dusă prin mijlocul lui. Proprietatea ei fundamentală: orice punct de pe mediatoare se află la egală distanță de capetele segmentului. Reciproc, orice punct egal depărtat de A și de B se află pe mediatoarea lui [AB].

Calculele cu segmente pe o dreaptă cer atenție la ordinea punctelor: dacă punctele sunt în ordinea A, B, C, atunci AC = AB + BC; dar dacă B nu e între A și C, adunarea e greșită. Desenul corect e jumătate din rezolvare.

Unghiuri: clasificare, unghiuri congruente, bisectoarea

Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte cu aceeași origine. Semidreptele sunt laturile unghiului, iar originea comună este vârful. Unghiul se măsoară în grade, cu raportorul.

Clasificarea după măsură — cerută frecvent la examen:

• unghi ascuțit: măsura între 0° și 90°;
• unghi drept: exact 90°;
• unghi obtuz: măsura între 90° și 180°;
• unghi alungit: exact 180° (laturile sunt semidrepte opuse);
• unghi nul: 0°.

Două unghiuri cu aceeași măsură se numesc unghiuri congruente.

Perechi speciale de unghiuri:

• complementare: suma măsurilor este 90° — de exemplu 35° și 55°;
• suplementare: suma măsurilor este 180° — de exemplu 110° și 70°.

Truc de memorare: Complementare — Colț (90°, un colț drept); Suplementare — Semicerc (180°). Confuzia dintre cele două e una dintre cele mai des întâlnite greșeli de punctaj.

• unghiuri adiacente: au același vârf, o latură comună și interioarele de o parte și de alta a laturii comune;
• unghiuri opuse la vârf: au același vârf, iar laturile unuia sunt semidreptele opuse laturilor celuilalt; unghiurile opuse la vârf sunt congruente — teoremă mică, dar folosită constant.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul lui, care îl împarte în două unghiuri congruente. Dacă un unghi de 84° e tăiat de bisectoare, fiecare jumătate are 42°. Proprietate: orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului.

Drepte paralele tăiate de o secantă

O dreaptă care intersectează alte două drepte în puncte diferite se numește secantă. La intersecția secantei cu cele două drepte se formează 8 unghiuri, grupate în perechi cu nume precise:

• unghiuri alterne interne: de o parte și de alta a secantei, între cele două drepte;
• unghiuri alterne externe: de o parte și de alta a secantei, în afara benzii dintre drepte;
• unghiuri corespondente: de aceeași parte a secantei, unul între drepte și unul în afară — ocupă „aceeași poziție” la fiecare intersecție;
• unghiuri interne de aceeași parte a secantei (numite și conjugate interne).

Teorema fundamentală: dacă cele două drepte sunt paralele, atunci:

• unghiurile alterne interne sunt congruente;
• unghiurile alterne externe sunt congruente;
• unghiurile corespondente sunt congruente;
• unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma 180°).

Aici cade cel mai des punctul: elevii scriu că unghiurile interne de aceeași parte sunt congruente. Nu — ele sunt suplementare. Congruente sunt perechile „alterne” și „corespondente”.

În practică, dacă știi un singur unghi dintre cele 8, le poți afla pe toate celelalte: unghiul opus la vârf e congruent cu el, suplementul îl completează la 180°, iar paralelele „copiază” aceleași măsuri la a doua intersecție. Dintr-un unghi de 65° rezultă că toate cele 8 unghiuri au 65° sau 115°.

Criterii de paralelism

Teorema din secțiunea anterioară funcționează și invers, iar reciprocă ei se numește criteriu de paralelism: dacă două drepte tăiate de o secantă formează

• o pereche de unghiuri alterne interne congruente, sau
• o pereche de unghiuri corespondente congruente, sau
• o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare,

atunci dreptele sunt paralele.

Diferența dintre teoremă și criteriu trebuie înțeleasă, pentru că la examen se cere exact raționamentul potrivit:

• teorema directă: știi că dreptele sunt paralele → tragi concluzii despre unghiuri;
• criteriul (reciproca): știi ceva despre unghiuri → tragi concluzia că dreptele sunt paralele.

Dacă problema cere „arătați că a ∥ b”, cauți o pereche de unghiuri potrivită și aplici criteriul. Dacă problema spune „a ∥ b” și cere o măsură de unghi, aplici teorema directă.

Exemplu de aplicare a criteriului: dreptele a și b sunt tăiate de secanta c; un unghi alterne intern are 47°, iar celălalt unghi al perechii are tot 47°. Concluzie: a ∥ b, pentru că unghiurile alterne interne sunt congruente.

Contraexemplu de raționament greșit: din faptul că două unghiuri corespondente au 80° și 100° nu poți conchide nimic despre paralelism prin acel criteriu — dar poți observa că dreptele nu sunt paralele, pentru că dacă ar fi, unghiurile corespondente ar trebui să fie congruente.

La problemele cu mai multe drepte, nu uita de tranzitivitate: dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c — de multe ori paralelismul cerut se obține în doi pași, printr-o dreaptă intermediară.

Test — 6 întrebări ca la examen