Rapoarte și proporții

Elevii studiază rapoartele, proporțiile și proprietățile fundamentale ale acestora.

Raportul a două numere

Raportul a două numere a și b (cu b diferit de 0) este câtul lor, scris a/b sau a : b. Raportul răspunde la întrebarea „de câte ori este a mai mare (sau mai mic) decât b” sau „ce parte din b reprezintă a”.

Exemple din viața reală:

• într-o clasă sunt 12 fete și 16 băieți; raportul dintre numărul fetelor și cel al băieților este 12/16 = 3/4;
• viteza este raportul dintre distanță și timp: 120 km parcurși în 2 ore înseamnă raportul 120/2 = 60 km/h;
• scara unei hărți, de exemplu 1 : 100 000, este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța reală.

Raportul se dă de obicei ca fracție ireductibilă, deci se simplifică: 12/16 = 3/4.

Două atenționări importante:

• ordinea contează: raportul dintre fete și băieți este 3/4, dar raportul dintre băieți și fete este 4/3 — citește cu grijă ce se cere;
• cele două mărimi trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a face raportul: raportul dintre 50 cm și 2 m nu este 50/2, ci 50/200 = 1/4, pentru că 2 m = 200 cm.

Numerele a și b se numesc termenii raportului, iar rezultatul împărțirii se numește valoarea raportului. Rapoartele care au aceeași valoare se numesc rapoarte egale — ele stau la baza noțiunii de proporție.

Proporții. Proprietatea fundamentală

O proporție este o egalitate de două rapoarte: a/b = c/d. Se citește „a supra b egal c supra d”.

Termenii au nume precise, cerute la examen:

• a și d sunt extremii proporției (stau la margine);
• b și c sunt mezii proporției (stau la mijloc).

Proprietatea fundamentală a proporțiilor: într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: a · d = b · c. De exemplu, în proporția 2/3 = 4/6 avem 2 · 6 = 3 · 4 = 12.

Această proprietate e instrumentul principal de lucru: cu ea afli termenul necunoscut al unei proporții. Dacă x/5 = 6/15, atunci 15 · x = 5 · 6, deci x = 30 : 15 = 2. Regula practică: un extrem se află împărțind produsul mezilor la celălalt extrem; un mez se află împărțind produsul extremilor la celălalt mez.

Dintr-o proporție poți forma proporții derivate, tot adevărate: schimbi mezii între ei, schimbi extremii între ei sau răstorni ambele rapoarte. Din 2/3 = 4/6 obții, de exemplu, 2/4 = 3/6 sau 3/2 = 6/4.

Greșeala de calcul care apare mereu: la „produsul în cruce” elevii înmulțesc termenii de pe aceeași parte a egalului (a · b = c · d) în loc să înmulțească în diagonală. Reține vizual: înmulțirea se face în cruce, pe diagonalele egalității.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori. Rapoartele valorilor corespunzătoare sunt egale.

Exemple: cantitatea de mere și prețul plătit (de două ori mai multe mere, de două ori mai mulți bani); distanța parcursă și timpul, la viteză constantă.

Matematic, numerele a, b, c sunt direct proporționale cu numerele x, y, z dacă:

• a/x = b/y = c/z = k, unde k se numește coeficient de proporționalitate.

Problema tipică de examen: „Împărțiți numărul 60 în părți direct proporționale cu 2, 3 și 5.” Rezolvare cu șirul de rapoarte egale:

• notăm părțile cu a, b, c și scriem a/2 = b/3 = c/5 = k;
• suma părților: a + b + c = 60, iar suma „etichetelor”: 2 + 3 + 5 = 10;
• valoarea comună a rapoartelor este k = 60/10 = 6;
• deci a = 2 · 6 = 12, b = 3 · 6 = 18, c = 5 · 6 = 30.

Verificarea e obligatorie și aduce siguranță: 12 + 18 + 30 = 60.

Nu orice două mărimi care „cresc împreună” sunt direct proporționale: vârsta și înălțimea unui copil cresc amândouă, dar nu proporțional — la dublul vârstei nu ai dublul înălțimii. Proporționalitatea cere ca raportul să rămână constant, nu doar ca mărimile să crească în același sens.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori. De data aceasta nu raportul, ci produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant.

Exemple clasice:

• viteza și timpul, pe aceeași distanță: dacă mergi de 2 ori mai repede, ajungi în jumătate din timp;
• numărul de muncitori și timpul de terminare a unei lucrări: de 3 ori mai mulți muncitori termină de 3 ori mai repede;
• debitul unui robinet și timpul de umplere a unui bazin.

Matematic, numerele a, b, c sunt invers proporționale cu x, y, z dacă produsele sunt egale: a · x = b · y = c · z. Echivalent, a, b, c sunt direct proporționale cu inversele 1/x, 1/y, 1/z — acesta e trucul de rezolvare.

Problemă tipică: „Împărțiți 22 în părți invers proporționale cu 2 și 9.” Părțile sunt direct proporționale cu 1/2 și 1/9, deci a/(1/2) = b/(1/9) = k. Aducem la același numitor: 1/2 = 9/18 și 1/9 = 2/18, deci părțile sunt direct proporționale cu 9 și 2: k = 22/(9 + 2) = 2, de unde a = 18 și b = 4. Verificare: 18 · 2 = 36 și 4 · 9 = 36 — produsele sunt egale.

Capcana numărul unu: elevii citesc „invers proporțional” dar rezolvă direct proporțional, pentru că metoda directă le e mai familiară. Subliniază cuvântul „invers” în enunț și treci imediat la inversele numerelor.

Regula de trei simplă

Regula de trei simplă e schema prin care afli a patra valoare când cunoști trei valori a două mărimi proporționale. Pașii:

1. așezi datele pe două rânduri, cu aceleași mărimi una sub alta; 2. stabilești tipul de proporționalitate — directă sau inversă; acesta e pasul critic; 3. scrii proporția și afli necunoscuta.

Exemplu cu mărimi direct proporționale: 3 kg de mere costă 12 lei. Cât costă 5 kg?

• 3 kg ......... 12 lei
• 5 kg ......... x lei
• mai multe kg → mai mulți lei, deci direct proporționale: x = (5 · 12)/3 = 20 lei.

Exemplu cu mărimi invers proporționale: 4 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile o termină 8 muncitori?

• 4 muncitori ......... 6 zile
• 8 muncitori ......... x zile
• mai mulți muncitori → mai puține zile, deci invers proporționale: 4 · 6 = 8 · x, de unde x = 3 zile.

Dacă ai fi aplicat mecanic schema directă, ai fi obținut x = 12 zile — adică mai mulți muncitori ar lucra mai mult, absurd. De aceea, înainte de calcul, pune-ți întrebarea de bun-simț: când prima mărime crește, a doua crește sau scade? Răspunsul dictează metoda.

Procentele se leagă direct de acest capitol: p% înseamnă p/100, iar „p% din x” se calculează p/100 · x. Aflarea procentului e tot o regulă de trei simplă în care una dintre valori este 100. De exemplu, 15% din 240 = 15/100 · 240 = 36; iar dacă 20% dintr-un număr este 14, numărul este 14 : 20/100 = 70.

Test — 6 întrebări ca la examen