Mulțimea numerelor raționale

Elevii extind cunoștințele despre fracții la mulțimea numerelor raționale și operațiile cu acestea.

Ce este un număr rațional. Mulțimea Q

Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca fracție a/b, unde a și b sunt numere întregi, iar b este diferit de 0. Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu Q.

Exemple de numere raționale:

• fracțiile obișnuite: 3/4, -2/5, 7/2;
• numerele întregi — orice întreg e o fracție cu numitorul 1: 5 = 5/1, -3 = -3/1;
• fracțiile zecimale finite: 0,25 = 25/100 = 1/4;
• fracțiile zecimale periodice: 0,(3) = 1/3.

De aici rezultă o relație importantă între mulțimile de numere: N ⊂ Z ⊂ Q — orice număr natural e și întreg, orice întreg e și rațional. Mulțimile se „cuprind” una pe alta ca niște păpuși rusești.

Același număr rațional are o infinitate de scrieri: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 0,5. Prin amplificare înmulțești și numărătorul și numitorul cu același număr nenul, iar prin simplificare le împarți la un divizor comun. O fracție care nu se mai poate simplifica se numește ireductibilă — la Evaluarea Națională rezultatul se dă întotdeauna ca fracție ireductibilă.

Atenție la o confuzie frecventă: semnul minus al unei fracții poate sta în trei locuri și înseamnă același număr: -3/4 = (-3)/4 = 3/(-4). Nu sunt trei numere diferite, ci trei scrieri ale aceluiași număr rațional negativ.

Reprezentarea pe axă. Compararea și ordonarea numerelor raționale

Numerele raționale se reprezintă pe axa numerelor la fel ca întregii, doar că acum axa se „umple” și între întregi. Ca să reprezinți 3/4, împarți segmentul dintre 0 și 1 în 4 părți egale și numeri 3 dintre ele. Numărul -3/4 stă simetric, la stânga lui 0.

Pentru comparare, regulile de bază rămân cele de la întregi: orice număr negativ e mai mic decât 0 și decât orice număr pozitiv, iar dintre două numere negative e mai mare cel cu modulul mai mic.

Când compari două fracții pozitive ai mai multe metode:

• același numitor: e mai mare fracția cu numărătorul mai mare: 5/7 > 3/7;
• același numărător: e mai mare fracția cu numitorul mai mic: 3/5 > 3/8 — pentru că împarți întregul în mai puține bucăți, deci bucățile sunt mai mari;
• numitori diferiți: aduci fracțiile la un numitor comun (de regulă cel mai mic multiplu comun al numitorilor) sau le transformi în fracții zecimale.

Greșeala clasică e la fracțiile cu același numărător: mulți aleg fracția cu numitorul mai mare, „pentru că 8 e mai mare decât 5”. Gândește-te la pizza: o optime dintr-o pizza e mai mică decât o cincime din aceeași pizza.

La negative totul se inversează: dacă 3/5 > 3/8, atunci -3/5 < -3/8. Verifică mereu semnul înainte să compari.

Adunarea și scăderea numerelor raționale

Ca să aduni sau să scazi fracții, ele trebuie să aibă același numitor.

• Același numitor: aduni sau scazi numărătorii, numitorul rămâne neschimbat: 2/7 + 3/7 = 5/7.
• Numitori diferiți: aduci mai întâi fracțiile la numitorul comun, care este cel mai mic multiplu comun al numitorilor. De exemplu, 1/4 + 1/6: numitorul comun este 12, deci 3/12 + 2/12 = 5/12.

Greșeala care apare cel mai des la acest capitol: adunarea „numărător cu numărător și numitor cu numitor”, adică 1/4 + 1/6 = 2/10 — complet greșit. Regula aceea este pentru înmulțire, nu pentru adunare. Verificare rapidă: 1/4 + 1/6 trebuie să dea mai mult decât 1/4, dar 2/10 = 1/5 e mai mic decât 1/4, deci rezultatul nu poate fi corect.

Semnele se tratează exact ca la numerele întregi: scăderea înseamnă adunarea opusului, iar la semne diferite scazi modulele și păstrezi semnul numărului cu modulul mai mare. De exemplu: -1/2 + 1/3 = -3/6 + 2/6 = -1/6.

La fracțiile zecimale finite, adunarea și scăderea se fac așezând virgulă sub virgulă: 2,35 + 1,8 = 4,15. Dacă exercițiul amestecă fracții ordinare cu fracții zecimale, transformă totul într-o singură formă — de obicei e mai sigur în fracții ordinare, mai ales când zecimalele sunt periodice.

Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

Înmulțirea fracțiilor e operația cea mai simplă: numărător ori numărător, numitor ori numitor:

• 2/3 · 5/7 = 10/21.

Înainte să înmulțești, simplifică în cruce dacă se poate: la 3/8 · 4/9 simplifici 3 cu 9 și 4 cu 8 și obții 1/2 · 1/3 = 1/6 — calcul mult mai ușor decât 12/72 simplificat la final.

Împărțirea se transformă în înmulțire: a împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa fracției a/b este b/a (fracția „răsturnată”). De exemplu: 2/3 : 5/7 = 2/3 · 7/5 = 14/15.

Două capcane de punctaj:

• se răstoarnă prima fracție în loc de a doua: 2/3 : 5/7 nu este 3/2 · 5/7; se răstoarnă întotdeauna fracția la care împarți, adică a doua;
• se confundă inversul cu opusul: inversul lui 2/3 este 3/2 (produsul lor e 1), opusul lui 2/3 este -2/3 (suma lor e 0).

Regula semnelor de la numerele întregi rămâne valabilă: semne identice dau plus, semne diferite dau minus: (-1/2) · (-4/3) = +2/3.

Nu uita: împărțirea la 0 nu are sens, iar fracția 0/a = 0 pentru orice a nenul. Puterile funcționează la fel ca la întregi: (2/3)² = 4/9 — se ridică la putere și numărătorul, și numitorul.

Ordinea operațiilor și probleme cu numere raționale

Ordinea operațiilor este identică celei de la numerele întregi:

1. puterile; 2. înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta; 3. adunările și scăderile, de la stânga la dreapta;

iar parantezele se rezolvă primele: rotunde, apoi drepte, apoi acolade.

Exemplu rezolvat: (1/2 - 1/3) : 1/6 + (-2)

• paranteza: 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6;
• împărțirea: 1/6 : 1/6 = 1;
• final: 1 + (-2) = -1.

La problemele practice, întrebarea tipică este „a n-a parte dintr-un număr” sau „cât reprezintă fracția f din numărul x”. Regula esențială: „din” înseamnă înmulțire. Trei pătrimi din 20 înseamnă 3/4 · 20 = 15.

Problema inversă cere numărul când cunoști o parte din el: dacă 2/5 dintr-un număr este 8, numărul este 8 : 2/5 = 8 · 5/2 = 20. Aici e capcana: mulți înmulțesc 8 cu 2/5 și obțin 16/5, fiindcă aplică mecanic „din = înmulțire” fără să observe că de data aceasta partea e cunoscută și întregul e necunoscut.

Un instrument de verificare care te salvează la examen: estimează rezultatul înainte de calcul. Dacă 2/5 din număr este 8, numărul întreg trebuie să fie mai mare decât 8 — deci 16/5, care e mai mic decât 8, nu are cum să fie corect.

Test — 6 întrebări ca la examen