Aria și perimetrul figurilor plane

Elevii calculează arii și perimetre pentru figuri plane studiate.

Perimetrul. Unități de măsură pentru lungime și arie

Perimetrul unei figuri este lungimea conturului ei — suma lungimilor tuturor laturilor. Formulele uzuale:

• triunghi: P = a + b + c; triunghi echilateral: P = 3l;
• dreptunghi: P = 2(L + l);
• pătrat și romb: P = 4l;
• trapez: P = suma celor patru laturi.

Aria măsoară suprafața ocupată de figură — câte pătrățele cu latura de 1 unitate încap în ea. Perimetrul se măsoară în unități de lungime (m, cm), aria în unități de suprafață (m², cm²). Cine scrie aria în cm a pierdut deja un punct din oficiu la redactare.

Transformările unităților sunt locul unde se greșește cel mai des:

• la lungimi, treapta este 10: 1 m = 10 dm = 100 cm;
• la arii, treapta este 100: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², pentru că un pătrat cu latura de 1 m = 10 dm conține 10 · 10 = 100 de pătrate cu latura de 1 dm.

Deci 3 m² nu este 30 dm², ci 300 dm². Regula practică: la arii, fiecare treaptă de transformare mută virgula cu două poziții, nu cu una.

O idee-cheie a capitolului: perimetrul și aria nu se determină reciproc. Două figuri pot avea același perimetru și arii diferite: dreptunghiul 1 × 5 și dreptunghiul 3 × 3 au ambele perimetrul 12, dar ariile 5 și 9. La fel, figuri cu aceeași arie pot avea perimetre diferite. Enunțurile de tip adevărat/fals exploatează exact această independență.

Aria dreptunghiului și a pătratului

Aria dreptunghiului cu lungimea L și lățimea l este:

• A = L · l.

Intuiția: pe un dreptunghi de 5 cm pe 3 cm încap 5 · 3 = 15 pătrățele de 1 cm² — aria e o numărătoare de pătrățele, nu o formulă magică.

Aria pătratului cu latura l este:

• A = l · l = l².

Aceste două formule sunt fundația întregului capitol: din aria dreptunghiului se deduc ariile paralelogramului, triunghiului și trapezului, prin decupări și rearanjări de bucăți. Cine înțelege lanțul deducerii nu mai trebuie să memoreze mecanic fiecare formulă.

Probleme tipice și capcanele lor:

• de la perimetru la arie: un pătrat are perimetrul 36 cm; aria lui? Întâi latura: l = 36 : 4 = 9 cm, apoi aria: 81 cm². Greșeala clasică e folosirea perimetrului direct în formula ariei;
• dublarea dimensiunilor: dacă dublezi latura pătratului, aria nu se dublează, ci se mărește de 4 ori, pentru că 2l · 2l = 4l². În general, la o mărire de k ori a dimensiunilor, aria crește de k² ori;
• unități amestecate: la un dreptunghi cu L = 1,2 m și l = 40 cm, transformă mai întâi: L = 120 cm, deci A = 120 · 40 = 4800 cm². Înmulțirea 1,2 · 40 = 48 nu are sens fără unitate comună.

Verificare de bun-simț la final: o arie negativă sau una mai mică decât oricare dintre dimensiuni la numere supraunitare semnalează aproape sigur o eroare de calcul.

Aria paralelogramului

Aria paralelogramului este produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare ei:

• A = b · h.

Baza este oricare latură a paralelogramului, iar înălțimea corespunzătoare este distanța dintre acea latură și latura opusă — segmentul de perpendiculară dintre cele două paralele.

De unde vine formula: dacă tai triunghiul dreptunghic din stânga paralelogramului și îl muți în dreapta, obții exact un dreptunghi cu aceleași bază și înălțime. Aria nu s-a schimbat la mutare, deci A = b · h.

Capcana centrală a capitolului: în formulă intră înălțimea, nu latura oblică. La un paralelogram cu baza 10 cm, latura oblică 6 cm și înălțimea 4 cm, aria este 10 · 4 = 40 cm², nu 10 · 6 = 60 cm². Latura oblică e întotdeauna mai lungă decât înălțimea (ipotenuza triunghiului format), deci înmulțirea cu latura dă mereu o arie umflată. Enunțurile dau adesea ambele valori tocmai ca să testeze alegerea.

Fiecare bază are înălțimea ei: același paralelogram are două perechi bază-înălțime, iar produsul este același: b₁ · h₁ = b₂ · h₂ = A. De aici poți afla o înălțime necunoscută: dacă A = 40 cm² și cealaltă latură are 8 cm, înălțimea corespunzătoare ei este 40 : 8 = 5 cm.

În probleme, înălțimea poate cădea și în afara paralelogramului la figurile foarte înclinate — desenul rămâne corect, formula la fel. Important este ca baza și înălțimea folosite împreună să fie corespondente, nu alese la întâmplare din datele problemei.

Aria triunghiului

Aria triunghiului este jumătate din produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare:

• A = (b · h) : 2.

De unde vine: două copii ale aceluiași triunghi, lipite pe o latură comună, formează un paralelogram cu aceeași bază și aceeași înălțime. Triunghiul este jumătatea lui, deci aria se împarte la 2.

Uitarea împărțirii la 2 este, de departe, cea mai frecventă greșeală a capitolului — apare în fiecare sesiune de examen. Scrie formula completă de la început, nu „repara” la final.

Cazuri particulare importante:

• triunghiul dreptunghic: catetele sunt perpendiculare una pe alta, deci una e bază și cealaltă înălțime: A = (c₁ · c₂) : 2. Nu are rost să cauți altă înălțime — catetele sunt perechea naturală;
• orice triunghi are trei perechi bază-înălțime, toate dând aceeași arie: a · hₐ = b · h_b = c · h_c = 2A. Din această egalitate afli o înălțime când cunoști aria și latura: h = 2A : a.

Exemplu complet: triunghiul cu baza 12 cm și înălțimea corespunzătoare 5 cm are aria (12 · 5) : 2 = 30 cm². Dacă o altă latură a lui are 10 cm, înălțimea corespunzătoare ei este 2 · 30 : 10 = 6 cm.

Atenție la triunghiul obtuzunghic: înălțimile din vârfurile unghiurilor ascuțite cad pe prelungirea laturii opuse, în afara triunghiului. Formula rămâne aceeași; doar desenul te poate deruta. La probleme compuse, ariile se pot aduna: o figură complicată se descompune în triunghiuri și dreptunghiuri, iar aria totală este suma ariilor bucăților — principiul descompunerii, folosit constant la Evaluarea Națională.

Aria rombului și aria trapezului

Rombul are două formule de arie, alese după datele problemei:

• ca orice paralelogram: A = b · h (latura ori înălțimea corespunzătoare);
• cu diagonalele: A = (d₁ · d₂) : 2 — semiprodusul diagonalelor.

Formula cu diagonalele funcționează pentru că diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: rombul se poate închide într-un dreptunghi cu dimensiunile d₁ și d₂, din care ocupă exact jumătate. Capcana: și aici se uită împărțirea la 2 — un romb cu diagonalele 6 cm și 8 cm are aria (6 · 8) : 2 = 24 cm², nu 48 cm².

Aria trapezului cu bazele B și b și înălțimea h:

• A = (B + b) · h : 2.

De reținut prin legătura cu linia mijlocie: aria trapezului este linia mijlocie ori înălțimea, adică media bazelor înmulțită cu înălțimea — exact ca la un dreptunghi „îndreptat” cu lățimea egală cu media bazelor.

Greșelile care se repetă an de an:

• se înmulțesc bazele între ele, în loc să se adune: formula conține (B + b), nu B · b;
• se împarte la 2 doar una dintre baze, în loc de toată suma — parantezele nu sunt decorative;
• la trapezul dreptunghic se ia drept înălțime latura oblică; înălțimea este latura perpendiculară pe baze.

Exemplu: trapezul cu bazele 12 cm și 8 cm și înălțimea 5 cm are aria (12 + 8) · 5 : 2 = 50 cm².

Strategie generală de examen: notează formula pe foaie, înlocuiește valorile cu unități, calculează și scrie rezultatul cu unitatea de arie. Punctajele de redactare se acordă pe pași, iar formula scrisă explicit valorează puncte chiar dacă un calcul ulterior scapă o eroare.

Test — 6 întrebări ca la examen