Mulțimea numerelor întregi

Elevii studiază numerele întregi, operațiile cu acestea și proprietățile lor.

Mulțimea numerelor întregi Z. Numere opuse și axa numerelor

Până acum ai lucrat cu numere naturale: 0, 1, 2, 3 și așa mai departe. Dar cum scrii o temperatură de 5 grade sub zero sau o datorie de 10 lei? Ai nevoie de numere negative: -5, -10.

Mulțimea numerelor întregi se notează cu Z și conține numerele naturale, dar și opusele lor negative:

• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• numerele cu semnul + (sau fără semn) sunt întregi pozitivi: +1, +2, +3, ...
• numerele cu semnul - sunt întregi negativi: -1, -2, -3, ...
• 0 nu este nici pozitiv, nici negativ — e granița dintre cele două zone.

Pe axa numerelor, numerele negative stau la stânga lui 0, iar cele pozitive la dreapta. Fiecare număr are un opus: opusul lui 7 este -7, opusul lui -3 este 3, iar opusul lui 0 este chiar 0. Două numere opuse stau pe axă la aceeași distanță de 0, dar de o parte și de alta.

Distanța de la un număr până la 0 se numește modulul (sau valoarea absolută) a numărului și se notează cu bare verticale: |7| = 7 și |-7| = 7. Atenție la confuzia clasică: modulul nu „taie minusul” la întâmplare — el măsoară o distanță, iar distanțele sunt întotdeauna pozitive sau zero.

Compararea și ordonarea numerelor întregi

Regula de aur: pe axa numerelor, numărul aflat mai la stânga este mai mic. De aici rezultă tot ce trebuie să știi:

• orice număr negativ este mai mic decât 0: -3 < 0;
• orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv: -100 < 1;
• dintre două numere pozitive, e mai mare cel cu modulul mai mare: 8 > 5;
• dintre două numere negative, e mai mare cel cu modulul mai mic: -2 > -9, pentru că -2 e mai aproape de 0.

Ultima regulă e cea care încurcă cel mai des. La numerele naturale te-ai obișnuit că „9 e mai mare decât 2”, dar la negative e invers: -9 înseamnă mai puțin decât -2 — gândește-te la temperaturi: -9 grade e mai frig decât -2 grade.

Când ordonezi crescător un șir de numere întregi, le așezi de la cel mai mic la cel mai mare, adică exact în ordinea în care apar pe axă de la stânga la dreapta. De exemplu, șirul -7, 4, -2, 0, 1 ordonat crescător devine: -7, -2, 0, 1, 4.

La Evaluarea Națională, comparările apar des deghizate: „care număr este mai aproape de 0” înseamnă care are modulul mai mic, iar „cel mai mic număr din șir” la un șir cu negative este cel cu modulul cel mai mare dintre negative.

Adunarea și scăderea numerelor întregi

Adunarea a două numere întregi are două situații:

• Semne identice: aduni modulele și păstrezi semnul comun. Exemple: (+3) + (+5) = +8; (-3) + (-5) = -8. Gândește-te la datorii: două datorii adunate dau o datorie mai mare.
• Semne diferite: scazi modulul mai mic din cel mai mare și pui semnul numărului cu modulul mai mare. Exemple: (-7) + (+3) = -4; (+7) + (-3) = +4.

Suma a două numere opuse este întotdeauna 0: (-6) + (+6) = 0.

Scăderea se transformă în adunare: a scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui. Regula se scrie a - b = a + (-b). Exemple:

• 3 - 7 = 3 + (-7) = -4
• 2 - (-5) = 2 + 5 = 7 — minus cu minus alăturate devin plus;
• -4 - 3 = -4 + (-3) = -7.

Greșeala clasică: la 2 - (-5) mulți elevi scriu -3, pentru că „văd” doar scăderea și ignoră al doilea minus. Corect: scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea unui număr pozitiv, deci rezultatul crește.

Când ai un șir lung de adunări și scăderi, poți grupa separat numerele pozitive și cele negative, apoi faci o singură diferență la final — economisești timp și greșești mai rar.

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi. Puteri

La înmulțire și împărțire contează mai întâi semnul rezultatului, apoi calculul cu modulele. Regula semnelor:

• plus ori plus = plus; minus ori minus = plus;
• plus ori minus = minus; minus ori plus = minus.

Pe scurt: semne identice dau plus, semne diferite dau minus. Exemple: (-4) · (-5) = +20; (-4) · 5 = -20; (-20) : (-4) = +5; 20 : (-4) = -5.

Dacă înmulțești mai multe numere, numeri factorii negativi: număr par de minusuri → rezultat pozitiv; număr impar de minusuri → rezultat negativ. De exemplu, (-1) · (-2) · (-3) = -6, pentru că sunt trei minusuri.

Orice număr înmulțit cu 0 dă 0, iar împărțirea la 0 nu are sens — nu există rezultat.

La puteri, semnul depinde de exponent: (-2)² = (-2) · (-2) = +4, dar (-2)³ = -8. Deci baza negativă la exponent par dă rezultat pozitiv, la exponent impar dă rezultat negativ.

Capcana cu paranteza este punctul unde se pierd cele mai multe puncte: (-3)² = 9, dar -3² = -9. În prima scriere, paranteza arată că tot numărul -3 se ridică la pătrat. În a doua, doar 3 se ridică la pătrat, iar minusul rămâne în față. Verifică mereu dacă minusul e „prins” în paranteză.

Ordinea efectuării operațiilor cu numere întregi

Când într-un exercițiu apar mai multe operații, ordinea este mereu aceeași:

1. Puterile (ridicarea la putere); 2. Înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar de la stânga la dreapta; 3. Adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta.

Dacă există paranteze, rezolvi mai întâi ce e în ele: întâi parantezele rotunde ( ), apoi cele drepte [ ], apoi acoladele { }.

Exemplu rezolvat pas cu pas: -2 + 3 · (-4) - (-6) : 2

• întâi înmulțirea: 3 · (-4) = -12;
• apoi împărțirea: (-6) : 2 = -3;
• exercițiul devine: -2 + (-12) - (-3) = -2 - 12 + 3 = -11.

Două greșeli apar constant la acest tip de exercițiu:

• elevii calculează de la stânga la dreapta fără să respecte prioritatea, adică fac întâi -2 + 3 = 1 — greșit, înmulțirea are prioritate;
• la desfacerea parantezelor precedate de minus se uită schimbarea semnului: - (-3) devine +3, nu -3.

Un obicei bun: după ce desfaci toate parantezele, rescrie exercițiul complet pe un rând nou, doar cu adunări și scăderi, și abia apoi calculează. Pașii scriși ordonat aduc punctaj la Evaluarea Națională chiar dacă rezultatul final are o mică eroare de calcul.

Test — 6 întrebări ca la examen