Corpuri geometrice

Introducerea corpurilor geometrice de bază și calculul ariei și volumului acestora.

Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Până acum am lucrat cu figuri plane — desenate pe foaie, fără grosime. Corpurile geometrice au trei dimensiuni: lungime, lățime și înălțime; ele ocupă loc în spațiu.

Paralelipipedul dreptunghic este forma cutiei de pantofi, a cărămizii, a camerei: toate fețele lui sunt dreptunghiuri. Elementele lui:

• 6 fețe — dreptunghiuri, egale două câte două (față-spate, sus-jos, stânga-dreapta);
• 12 muchii — segmentele unde se întâlnesc două fețe; câte 4 pentru fiecare dimensiune (lungime L, lățime l, înălțime h);
• 8 vârfuri — punctele unde se întâlnesc trei muchii.

Cubul este paralelipipedul dreptunghic perfect: toate muchiile egale (L = l = h), deci toate cele 6 fețe sunt pătrate congruente. Zarul și cubul Rubik sunt exemplele clasice.

Numerele 6, 12, 8 (fețe, muchii, vârfuri) sunt aceleași la cub și la paralelipiped și se cer frecvent la examen — merită verificate direct pe o cutie reală: numără-le cu creionul în mână.

Un detaliu de vocabular: diagonala unei fețe stă pe suprafața corpului, dar corpul are și diagonale interioare, care traversează interiorul de la un vârf la vârful opus (drumul furnicii prin cameră versus drumul păsării).

Relația dintre plan și spațiu domină întreg capitolul: fiecare față este o figură plană deja cunoscută (dreptunghi sau pătrat), deci tot ce am învățat la arii se reciclează aici.

Aria suprafeței cubului și a paralelipipedului

Cât carton îți trebuie ca să construiești o cutie? Exact aria suprafeței corpului — suma ariilor tuturor fețelor lui.

Cubul are 6 fețe pătrate, fiecare de arie l², deci aria totală:

• At = 6 · l².

Un cub cu muchia de 4 cm: At = 6 · 16 = 96 cm².

Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile L, l, h are fețele egale două câte două:

• podeaua și tavanul: câte L · l;
• fața și spatele: câte L · h;
• lateralele: câte l · h.

Aria totală adună toate șase:

• At = 2 · (L · l + L · h + l · h).

Exemplu: L = 5 cm, l = 3 cm, h = 2 cm → At = 2 · (15 + 10 + 6) = 2 · 31 = 62 cm².

Se folosește și aria laterală — doar fețele din jur, fără podea și tavan (pereții camerei de zugrăvit, eticheta din jurul cutiei):

• Al = 2 · (L + l) · h — perimetrul bazei ori înălțimea.

Greșeli tipice:

• numărarea greșită a fețelor: 4 în loc de 6 la arie totală (se uită podeaua și tavanul) sau invers, 6 unde problema cere doar aria laterală — o cutie fără capac are 5 fețe, un acvariu fără capac tot 5;
• confundarea formulelor de arie cu cea de volum;
• unități: aria suprafeței se exprimă în unități pătrate (cm², m²), pentru că e o sumă de arii de fețe plane.

Sfat practic: la orice problemă de arie a unui corp, desenează sau imaginează desfășurarea și întreabă-te: care fețe intră în calcul, conform enunțului?

Volumul cubului și al paralelipipedului

Volumul măsoară cât spațiu ocupă un corp — câte cuburi-unitate (de exemplu cuburi cu muchia de 1 cm) încap exact în el.

Într-o cutie cu L = 5 cm, l = 3 cm, h = 2 cm, cuburile de 1 cm³ se așază astfel: pe fund, 5 · 3 = 15 cuburi într-un strat; și încap 2 straturi. Total: 15 · 2 = 30 de cuburi. De aici formula:

• paralelipiped dreptunghic: V = L · l · h;
• cub (toate muchiile egale): V = l · l · l = l³.

Un cub cu muchia de 4 cm are V = 4³ = 64 cm³.

Deosebirea arie—volum, pe scurt: aria suprafeței = cartonul cutiei (cm²); volumul = ce încape în cutie (cm³). Sunt mărimi diferite, cu formule diferite și unități diferite — confuzia lor este greșeala capitală a capitolului.

Probleme inverse frecvente:

• V = 120 cm³, L = 6 cm, l = 5 cm → h = 120 : (6 · 5) = 4 cm;
• câte cuburi cu muchia de 2 cm încap într-un paralelipiped de 8 × 6 × 4 cm? Fiecare cub are volumul 8 cm³, iar cutia 192 cm³, deci 192 : 8 = 24 de cuburi. Merge și pe dimensiuni: 4 · 3 · 2 = 24.

Atenție la pasul cu puterea: l³ înseamnă l · l · l, nu l · 3! Cubul cu muchia 4 are volumul 64, nu 12.

Și aici unitățile trebuie unificate înainte de înmulțire: o cutie de 1 m × 50 cm × 20 cm are volumul 100 · 50 · 20 = 100 000 cm³, nu 1 · 50 · 20.

Unități de volum și capacitate

Unitatea principală de volum este metrul cub (m³) — volumul unui cub cu muchia de 1 m. Rudele: mm³, cm³, dm³, m³.

La arii, treapta dintre unități vecine era 100. La volume, ea este 1 000:

• 1 m³ = 1 000 dm³; 1 dm³ = 1 000 cm³; 1 cm³ = 1 000 mm³.

De ce 1 000? Un cub cu muchia de 1 m are 10 dm pe fiecare direcție, deci încap 10 · 10 · 10 = 1 000 de cuburi de 1 dm³. Lungime → factor 10; arie → 10² = 100; volum → 10³ = 1 000. Fiecare treaptă de volum înseamnă trei zerouri.

Pentru lichide folosim unitățile de capacitate, cu litrul (L) în frunte: mililitrul (mL), centilitrul, decilitrul, litrul, hectolitrul. La capacitate, treapta dintre vecini este 10, ca la lungimi.

Legătura de aur dintre cele două familii:

• 1 L = 1 dm³ — un cub cu muchia de 1 dm ține exact un litru;
• 1 mL = 1 cm³ — cutiuța de 1 cm³ ține un mililitru;
• 1 m³ = 1 000 L.

Exemplu integrat: un acvariu de 40 cm × 30 cm × 25 cm are volumul 30 000 cm³ = 30 dm³ = 30 L de apă.

Greșelile din lucrări: transformarea volumelor cu factor 10 sau 100 în loc de 1 000 (1 m³ = 1 000 000 cm³, nu 10 000!); echivalarea greșită 1 L = 1 m³ (de fapt 1 L e doar un dm³ — un metru cub ține o mie de litri); amestecarea unităților în același calcul.

Prisme și piramide — o primă privire

Prisma este corpul cu două baze — poligoane congruente așezate în plane paralele — și cu fețe laterale paralelograme (la prisma dreaptă: dreptunghiuri). Prisma își ia numele de la bază:

• bază triunghi → prismă triunghiulară (cortul clasic, cutia de Toblerone);
• bază pătrat → prismă patrulateră;
• paralelipipedul dreptunghic și cubul sunt și ele prisme, cu baza dreptunghi, respectiv pătrat.

Prisma triunghiulară are 2 baze + 3 fețe laterale = 5 fețe, 9 muchii și 6 vârfuri.

Piramida are o singură bază și un vârf deasupra ei; fețele laterale sunt triunghiuri care se întâlnesc toate în vârf. Piramidele din Egipt au baza pătrat: 1 bază + 4 triunghiuri = 5 fețe, 8 muchii și 5 vârfuri.

Cum le deosebești dintr-o privire — întrebarea standard de examen:

• prisma are două baze identice și pereți care „cad drept”; tăiată paralel cu baza, dă mereu aceeași felie;
• piramida are o bază și se ascute spre vârf; feliile ei sunt din ce în ce mai mici spre vârf.

Capcană de numărare la piramidă: vârful piramidei este și el un vârf al corpului! Piramida cu baza pătrat are 4 vârfuri la bază plus 1 sus, deci 5, nu 4.

Alte corpuri pe care trebuie doar să le recunoști: cilindrul (conserva — două discuri și un perete curbat), conul (cornetul de înghețată), sfera (mingea). Ele au suprafețe curbe, deci nu sunt prisme sau piramide — acelea au doar fețe plane.

Desfășurarea corpurilor geometrice

Desfășurarea unui corp este ceea ce obții tăind cutia pe câteva muchii și întinzând-o plat pe masă: toate fețele, legate între ele, într-un singur desen plan. Invers, din desfășurare pliezi corpul la loc — exact ca ambalajele de carton înainte de a fi îndoite.

Desfășurarea cubului este formată din 6 pătrate legate. Cea mai cunoscută are formă de cruce: patru pătrate în coloană și două pe lateralele unuia dintre ele. Nu orice aranjament de 6 pătrate se pliază însă în cub! De exemplu, 6 pătrate înșirate toate pe un singur rând nu se pot închide — unele fețe s-ar suprapune, iar altele ar lipsi. Itemul tipic de examen: „care dintre desene este desfășurarea unui cub?” — se rezolvă pliind mental, față cu față: alege o față drept podea și urmărește unde ajunge fiecare pătrat vecin.

Desfășurarea paralelipipedului dreptunghic conține 6 dreptunghiuri, egale două câte două — perechile trebuie să apară fiecare exact de două ori.

Desfășurarea prismei triunghiulare: 2 triunghiuri (bazele) + 3 dreptunghiuri (fețele laterale). Desfășurarea piramidei cu baza pătrat: 1 pătrat + 4 triunghiuri prinse de laturile lui.

La ce folosește? Aria suprafeței unui corp este exact aria desfășurării lui — de aceea desfășurarea este cel mai sigur instrument pentru problemele de arie: desenezi desfășurarea, scrii aria fiecărei fețe, aduni. Cine calculează pe desfășurare nu mai uită fețe și nu mai numără vreuna de două ori.

Verificare rapidă pentru orice desfășurare propusă: numărul fețelor din desen trebuie să fie egal cu numărul fețelor corpului (6 la cub și paralelipiped, 5 la prisma triunghiulară și la piramida cu baza pătrat).

Test — 6 întrebări ca la examen