Elemente de statistică și probabilități

Elevii sunt introduși în noțiuni elementare de organizare a datelor și calcul al frecvențelor.

Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvență

Statistica se ocupă cu colectarea, organizarea și interpretarea datelor. Datele pot veni dintr-un sondaj în clasă (ce sport preferă colegii), din măsurători (înălțimile elevilor) sau din observații (temperatura zilnică).

Datele brute, așa cum le culegi, sunt greu de citit: 7, 9, 7, 8, 10, 7, 9, 8, 7, 10. Primul pas e organizarea lor într-un tabel de frecvență.

Frecvența unei valori este numărul de apariții ale acelei valori în șirul de date. Pentru șirul de mai sus:

• nota 7 apare de 4 ori → frecvența 4;
• nota 8 apare de 2 ori → frecvența 2;
• nota 9 apare de 2 ori → frecvența 2;
• nota 10 apare de 2 ori → frecvența 2.

Verificarea obligatorie: suma frecvențelor trebuie să fie egală cu numărul total de date — aici 4 + 2 + 2 + 2 = 10. Dacă suma nu iese, ai numărat greșit undeva; această verificare prinde majoritatea erorilor înainte să strice tot exercițiul.

Pe lângă frecvența simplă (numită și absolută) se poate calcula partea din total pe care o reprezintă fiecare valoare: nota 7 apare în 4 din 10 cazuri, adică 4/10 = 40% din date. Această exprimare procentuală face legătura cu capitolul despre rapoarte și procente și pregătește diagramele circulare.

Greșeala tipică la tabele: se confundă valoarea cu frecvența ei — de exemplu, se răspunde că „nota cea mai frecventă este 4”, când de fapt 4 este numărul de apariții ale notei 7. Citește mereu capul de tabel: un rând e valoarea, celălalt e de câte ori apare.

Media aritmetică

Media aritmetică a unor numere este suma numerelor împărțită la câte numere sunt:

• media notelor 7, 9 și 8 este (7 + 9 + 8) : 3 = 8.

Media e „nivelul comun” la care s-ar așeza toate valorile dacă le-ai egaliza: dacă trei colegi au 5, 7 și 9 lei, iar banii s-ar împărți egal, fiecare ar avea 7 lei — media.

Când datele sunt organizate în tabel de frecvență, fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei, iar suma produselor se împarte la suma frecvențelor (numărul total de date). Pentru tabelul din secțiunea anterioară:

• media = (7 · 4 + 8 · 2 + 9 · 2 + 10 · 2) : 10 = (28 + 16 + 18 + 20) : 10 = 82 : 10 = 8,2.

Capcana centrală: la datele cu frecvențe nu se face media valorilor distincte. Media (7 + 8 + 9 + 10) : 4 = 8,5 este greșită, pentru că ignoră faptul că 7 apare de patru ori, iar celelalte doar de câte două — valorile frecvente trebuie să „tragă” media spre ele.

Proprietăți utile în probleme:

• media este întotdeauna cuprinsă între valoarea minimă și cea maximă a datelor; o medie de 11 la note de la 1 la 10 e semn sigur de eroare;
• din medie se poate afla suma: dacă media a 5 numere este 12, suma lor este 5 · 12 = 60 — trucul care rezolvă problemele de tip „ce notă trebuie să iau la următorul test ca media să devină...”.

Exemplu de asemenea problemă: media a patru note este 8; ce notă e necesară la a cincea lucrare pentru media 8,4? Suma actuală: 32; suma necesară: 5 · 8,4 = 42; nota necesară: 42 - 32 = 10.

Mediana și modulul unui șir de date

Pe lângă medie, un șir de date se poate descrie prin alți doi indicatori.

Mediana este valoarea din mijloc a șirului ordonat crescător:

• la un număr impar de date, mediana este exact termenul din mijloc: pentru 3, 5, 8, 9, 12 mediana este 8;
• la un număr par de date, mediana este media aritmetică a celor doi termeni din mijloc: pentru 3, 5, 8, 10 mediana este (5 + 8) : 2 = 6,5.

Pasul zero, obligatoriu: ordonarea datelor. Cea mai frecventă greșeală la mediană este citirea „valorii din mijloc” din șirul neordonat — rezultat aproape sigur greșit. Întâi ordonezi, apoi cauți mijlocul.

Modulul (numit și modă sau valoare dominantă) este valoarea cu frecvența cea mai mare — cea care apare cel mai des. În șirul 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10 modulul este 7. Un șir poate avea două module (dacă două valori împart frecvența maximă) sau niciun modul (dacă toate valorile apar la fel de des).

Atenție la confuzia de vocabular: acest „modul” statistic nu are nicio legătură cu modulul numerelor întregi (valoarea absolută |x|) de la algebra din același an școlar. Contextul dictează sensul.

De ce există trei indicatori? Pentru că descriu lucruri diferite:

• media ține cont de toate valorile, dar e sensibilă la valori extreme — un singur 1 într-un șir de note de 9 și 10 trage media serios în jos;
• mediana nu e deranjată de extreme — de aceea salariile se compară de regulă prin mediană;
• modulul răspunde la întrebarea „ce e cel mai des întâlnit” — util la mărimi nenumerice, de exemplu culoarea preferată, unde media nici nu se poate calcula.

Reprezentări grafice ale datelor

Un tabel bine făcut devine și mai grăitor ca grafic. Reprezentările studiate:

• Diagrama cu bare (cu coloane): fiecare valoare primește o bară a cărei înălțime este frecvența. Barele sunt separate, iar compararea categoriilor se face dintr-o privire. Se folosește pentru date pe categorii: sporturi preferate, note, culori.
• Histograma: rudă a diagramei cu bare, folosită pentru date numerice grupate pe intervale (de exemplu înălțimi între 140–150 cm, 150–160 cm); barele sunt lipite, pentru că intervalele se continuă unul pe altul.
• Diagrama circulară: un disc împărțit în sectoare; fiecare sector reprezintă o categorie, iar unghiul sectorului este proporțional cu frecvența. Întregul disc de 360° corespunde totalului de 100%. Regula de calcul: procentul categoriei înmulțit cu 360°. O categorie cu 25% din date primește un sector de 25/100 · 360° = 90°.
• Graficul cu linii: punctele reprezentând valorile sunt unite prin segmente; potrivit pentru evoluții în timp — temperatura pe parcursul săptămânii, numărul de cărți citite lunar.

Alegerea graficului potrivit e ea însăși o competență testată: pentru „cum s-a schimbat temperatura în 7 zile” folosești grafic cu linii, nu diagramă circulară; pentru „ce parte din elevi preferă fotbalul” diagrama circulară e cea mai potrivită.

Greșeli de citire care apar la teste:

• se citește înălțimea barei greșite sau se ignoră scara axei (o gradație poate însemna 2, 5 sau 10 unități, nu automat 1);
• la diagrama circulară se confundă procentul cu unghiul: 25% nu înseamnă un sector de 25°, ci de 90°;
• se compară bare din grafice diferite cu scări diferite, ca și cum ar fi direct comparabile.

Interpretarea datelor. Primii pași spre probabilități

Interpretarea înseamnă să transformi cifrele în concluzii: care valoare domină, cum se împart datele, ce s-a schimbat în timp. La un test tipic primești un tabel sau un grafic și o serie de întrebări: „câți elevi...”, „cu cât mai mult...”, „ce procent...”. Strategia sigură: extrage întâi datele relevante din grafic pe ciornă, apoi calculează — nu răspunde direct „din ochi”.

Din frecvențe se nasc primele idei despre șansă. Frecvența relativă a unei valori este raportul dintre frecvența ei și numărul total de date:

• dacă din 20 de extrageri ale unei bile din urnă, 5 au fost roșii, frecvența relativă a bilei roșii este 5/20 = 1/4 = 25%.

Frecvența relativă e întotdeauna un număr între 0 și 1 (între 0% și 100%), iar suma frecvențelor relative ale tuturor valorilor este exact 1. Aceste două verificări prind imediat un calcul greșit.

Intuitiv, frecvența relativă estimează probabilitatea: dacă arunci o monedă de foarte multe ori, frecvența relativă a stemei se apropie de 1/2. Cu cât repeți experimentul de mai multe ori, cu atât estimarea e mai stabilă — 10 aruncări pot da ușor 7 steme, dar 1000 de aruncări dau aproape sigur în jur de 500.

Două greșeli de interpretare de care să te ferești:

• generalizarea pripită: din 5 aruncări cu 4 steme nu poți conchide că moneda „dă stemă în 80% din cazuri” — eșantionul e prea mic;
• confuzia parte-total: frecvența relativă se raportează la totalul datelor, nu la o altă categorie; „5 bile roșii din 20 de extrageri” înseamnă 25%, dar „de 3 ori mai puține roșii decât albastre” este o comparație între categorii, alt tip de raport.

Acest capitol nu apare direct în subiectele de examen, dar tabelele, mediile și graficele se regăsesc în problemele practice de la Evaluarea Națională și, mai ales, în viața de zi cu zi — de la mediile școlare la statisticile sportive.

Test — 6 întrebări ca la examen