Mulțimea numerelor raționale

Introducerea fracțiilor și a numerelor raționale, cu operații și reprezentări specifice.

Ce este o fracție

Când împărțim un întreg (o pizza, o ciocolată, un segment) în părți egale și luăm câteva dintre ele, obținem o fracție. Fracția 3/4 înseamnă: întregul a fost tăiat în 4 părți egale și am luat 3 dintre ele.

Elementele unei fracții:

• numitorul (jos) spune în câte părți egale a fost împărțit întregul — el „numește” părțile (pătrimi, optimi);
• numărătorul (sus) spune câte părți am luat — el le „numără”;
• linia de fracție ține locul unei împărțiri: 3/4 = 3 : 4.

Numitorul nu poate fi niciodată 0 — nu poți împărți un întreg în zero părți.

După relația dintre numărător și numitor, fracțiile se clasifică în:

• subunitare: numărătorul mai mic decât numitorul (3/4) — mai puțin de un întreg;
• echiunitare: numărătorul egal cu numitorul (4/4 = 1) — exact un întreg;
• supraunitare: numărătorul mai mare decât numitorul (7/4) — mai mult de un întreg.

O fracție supraunitară se poate scrie și ca număr mixt: 7/4 = 1 întreg și 3/4. Toate numerele care se pot scrie ca fracții formează mulțimea numerelor raționale, notată Q.

Amplificarea, simplificarea și fracțiile echivalente

Jumătate de pizza e aceeași cantitate, fie că o tai în 2 felii și iei una, fie că o tai în 4 felii și iei două: 1/2 = 2/4. Astfel de fracții, care reprezintă aceeași parte din întreg, se numesc fracții echivalente.

Din orice fracție obținem fracții echivalente prin două operații:

• amplificarea: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr diferit de 0: din 2/3, amplificând cu 5, obținem 10/15;
• simplificarea: împărțim și numărătorul, și numitorul la un divizor comun: din 12/18, simplificând cu 6, obținem 2/3.

Regula de fier: operația se aplică amândurora. Dacă înmulțești doar numărătorul, ai schimbat valoarea fracției!

O fracție care nu se mai poate simplifica (numărătorul și numitorul sunt prime între ele) se numește fracție ireductibilă. La examen, rezultatul se lasă întotdeauna sub formă ireductibilă — 6/8 în loc de 3/4 poate costa puncte.

Ca să simplifici complet dintr-un singur pas, împarți prin c.m.m.d.c.-ul celor două numere: pentru 24/36, c.m.m.d.c. = 12, deci 24/36 = 2/3.

Verificarea echivalenței a două fracții se face și prin produsul încrucișat: a/b = c/d exact atunci când a · d = b · c. De exemplu 2/3 = 10/15 pentru că 2 · 15 = 3 · 10 = 30.

Compararea fracțiilor

Cazurile simple:

• același numitor: e mai mare fracția cu numărătorul mai mare: 5/9 > 2/9 (felii la fel de mari, dar mai multe);
• același numărător: e mai mare fracția cu numitorul mai MIC: 3/4 > 3/8, pentru că pătrimile sunt felii mai mari decât optimile.

Al doilea caz este capcana clasică: instinctul spune că 8 e mai mare decât 4, deci 3/8 ar fi mai mare. Fals! Cu cât tai întregul în mai multe părți, cu atât fiecare parte e mai mică. Imaginează-ți că împarți o ciocolată cu 3 prieteni sau cu 7: la 4 persoane primești mai mult.

Când fracțiile au și numărători, și numitori diferiți, le aducem la același numitor: căutăm numitorul comun (cel mai bine c.m.m.m.c.-ul numitorilor) și amplificăm fiecare fracție corespunzător.

Exemplu: comparăm 5/6 și 7/9. C.m.m.m.c. al lui 6 și 9 este 18. Amplificăm: 5/6 = 15/18 și 7/9 = 14/18. Cum 15 > 14, rezultă 5/6 > 7/9.

Repere rapide, fără calcule:

• orice fracție subunitară < 1 < orice fracție supraunitară;
• compararea cu 1/2: 4/9 < 1/2 (pentru că 4 < 9 : 2), iar 5/9 > 1/2 — utilă la ordonări rapide.

Adunarea și scăderea fracțiilor

Același numitor — cazul ușor: adunăm sau scădem doar numărătorii, numitorul rămâne neschimbat:

• 3/8 + 2/8 = 5/8;
• 7/9 − 2/9 = 5/9.

Are sens: 3 optimi și încă 2 optimi fac 5 optimi, la fel cum 3 mere și 2 mere fac 5 mere. Feliile nu își schimbă mărimea când le pui la un loc.

Greșeala care apare cel mai des în lucrări: adunarea numitorilor între ei. 3/8 + 2/8 NU este 5/16! Dacă aduni și numitorii, spui de fapt că feliile s-au micșorat când le-ai pus pe farfurie — absurd.

Numitori diferiți: nu putem aduna direct optimi cu șesimi, la fel cum nu adunăm metri cu kilometri fără transformare. Pașii:

• găsim numitorul comun — c.m.m.m.c.-ul numitorilor;
• amplificăm fiecare fracție ca să ajungă la acel numitor;
• adunăm sau scădem numărătorii;
• simplificăm rezultatul, dacă se poate.

Exemplu: 1/6 + 3/4. C.m.m.m.c. al lui 6 și 4 este 12. Amplificăm: 1/6 = 2/12 și 3/4 = 9/12. Suma: 2/12 + 9/12 = 11/12.

Numerele naturale intră și ele în joc scrise ca fracții: 2 = 2/1, deci 2 − 3/5 = 10/5 − 3/5 = 7/5.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Înmulțirea este surprinzător de simplă — nu are nevoie de numitor comun:

• numărător cu numărător, numitor cu numitor: 2/3 · 4/5 = 8/15.

Înainte de a înmulți, merită să simplificăm încrucișat dacă se poate: la 3/8 · 4/9 simplificăm 3 cu 9 și 4 cu 8, rămâne 1/2 · 1/3 = 1/6 — calcule mai mici, fără simplificări dureroase la final.

„A afla o fracție dintr-un număr” înseamnă înmulțire: 3/4 din 20 = 3/4 · 20 = 60/4 = 15. Cuvântul „din” se traduce prin ori de câte ori apare în probleme.

Împărțirea folosește fracția inversă (răsturnată): a împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei:

• 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6.

Inversa lui 4/5 este 5/4; inversa lui 3 (adică 3/1) este 1/3. Numărul 0 nu are inversă.

Atenție: se răstoarnă doar a doua fracție (împărțitorul), niciodată prima! 2/3 : 4/5 nu devine 3/2 · 4/5.

Un rezultat care surprinde: împărțirea la o fracție subunitară mărește numărul: 6 : 1/2 = 6 · 2 = 12. E logic — în 6 întregi încap 12 jumătăți. Instinctul „împărțirea micșorează” funcționează doar la împărțitori supraunitari.

Fracții zecimale

Fracțiile cu numitorii 10, 100, 1 000, ... se numesc fracții zecimale și au o scriere specială, cu virgulă:

• 3/10 = 0,3; 27/100 = 0,27; 145/100 = 1,45.

Pozițiile de după virgulă se numesc: zecimi, sutimi, miimi. În 2,357: 3 e cifra zecimilor, 5 a sutimilor, 7 a miimilor.

Transformarea unei fracții zecimale în fracție ordinară: numărul fără virgulă la numărător, iar la numitor 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Invers, o fracție ordinară se transformă în scriere zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Dacă numitorul fracției ireductibile are doar factorii primi 2 și 5, împărțirea se termină (fracție zecimală finită); altfel, cifrele încep să se repete la nesfârșit — obținem o fracție periodică: 1/3 = 0,333... = 0,(3).

Compararea numerelor zecimale se face cifră cu cifră, de la stânga: 0,5 > 0,47, pentru că 5 zecimi > 4 zecimi. Capcana clasică: 0,47 pare mai mare fiindcă „47 > 5” — fals, compară zecimile întâi! Un truc: egalează numărul de zecimale adăugând zerouri: 0,50 față de 0,47.

La adunarea și scăderea numerelor zecimale, virgula se așază sub virgulă, apoi calculăm ca la numerele naturale: 2,5 + 0,38 = 2,88.

Test — 6 întrebări ca la examen