Mulțimea numerelor întregi

Introducerea numerelor întregi negative, compararea și efectuarea operațiilor în mulțimea numerelor întregi.

De ce avem nevoie de numere negative

Numerele naturale nu ne ajung mereu. Iarna, termometrul coboară sub zero grade: spunem că afară sunt −5 grade. Un lift poate coborî la subsol: etajul −2. Dacă ai 10 lei și vrei să cumperi ceva de 12 lei, îți lipsesc 2 lei — ai rămâne cu o datorie.

Pentru toate aceste situații folosim numerele întregi negative: −1, −2, −3, ... Împreună cu numerele naturale, ele formează mulțimea numerelor întregi, notată Z:

• Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Numerele cu semnul − în față sunt negative, cele fără semn (sau cu +) sunt pozitive. Zero nu este nici pozitiv, nici negativ — el este granița dintre cele două lumi.

Pe axa numerelor (o dreaptă pe care fixăm originea 0 și un sens), numerele pozitive stau la dreapta lui 0, iar cele negative la stânga. Fiecare număr întreg are un loc precis pe axă.

Două numere care diferă doar prin semn, precum −7 și +7, se numesc numere opuse. Ele stau pe axă la aceeași distanță de 0, de o parte și de alta. Opusul lui 0 este chiar 0. Distanța de la un număr până la 0 se numește modulul (valoarea absolută) numărului: |−7| = 7 și |7| = 7.

Compararea și ordonarea numerelor întregi

Regula generală este simplă de vizualizat: pe axa numerelor, orice număr aflat mai la stânga este mai mic. De aici rezultă trei situații:

• orice număr negativ este mai mic decât 0: −3 < 0;
• orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv: −100 < 1 (da, chiar dacă 100 pare „mare”!);
• dintre două numere pozitive, e mai mare cel cu modulul mai mare: 5 < 9.

Partea care încurcă pe toată lumea: dintre două numere negative, este mai mare cel mai apropiat de 0, adică cel cu modulul mai mic:

• −2 > −7, pentru că −2 e mai aproape de 0;
• gândește-te la temperaturi: −2 grade e mai cald decât −7 grade;
• sau la datorii: e mai bine să datorezi 2 lei decât 7 lei.

Deci la numerele negative ordinea „se răstoarnă” față de instinctul de la numerele naturale: 2 < 7, dar −2 > −7.

Ordonarea crescătoare a numerelor −4, 3, −1, 0, 2 devine: −4 < −1 < 0 < 2 < 3. Un truc de verificare: citește numerele de pe axă de la stânga la dreapta — asta e mereu ordinea crescătoare.

Adunarea numerelor întregi

Cel mai ușor înțelegem adunarea ca pași pe axă: numărul pozitiv ne mută spre dreapta, cel negativ spre stânga. Sau ca bani: pozitiv = primești, negativ = datorezi.

Cazul 1 — semne identice: adunăm modulele și păstrăm semnul comun.

• (+3) + (+5) = +8;
• (−3) + (−5) = −8 (două datorii se adună într-o datorie mai mare).

Cazul 2 — semne diferite: scădem modulul mic din modulul mare și punem semnul numărului cu modulul mai mare.

• (−7) + (+3) = −4 (datoria de 7 e mai mare decât cei 3 lei primiți, rămâi dator 4);
• (−2) + (+9) = +7.

Greșeala tipică este la semne identice negative: la (−3) + (−5) unii răspund −2, scăzând modulele. Greșit — datoriile se adună, rezultatul e −8. Scăderea modulelor apare doar la semne diferite.

Suma a două numere opuse este mereu 0: (−6) + (+6) = 0. Iar adunarea cu 0 nu schimbă nimic: a + 0 = a.

Adunarea în Z rămâne comutativă și asociativă, deci într-o sumă lungă putem grupa convenabil: pozitive cu pozitive, negative cu negative, apoi un singur calcul final.

Scăderea numerelor întregi

În Z, scăderea nu mai are restricții: putem calcula și 3 − 8, ceea ce în N era imposibil. Secretul este o singură regulă de aur:

• a scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui: a − b = a + (−b).

Exemple:

• 3 − 8 = 3 + (−8) = −5;
• 4 − (−6) = 4 + (+6) = 10 — minus cu minus dă plus;
• −2 − 5 = −2 + (−5) = −7;
• −3 − (−3) = −3 + 3 = 0.

Cel mai important caz de reținut este scăderea unui număr negativ: cele două minusuri consecutive se transformă în plus. Pe termometru: dacă temperatura crește de la −6 la 4, diferența este 4 − (−6) = 10 grade, nu 2! Distanțele care traversează zeroul se adună, nu se scad.

Când desfacem paranteze fără să calculăm imediat, folosim regulile:

• + înaintea parantezei: paranteza dispare, semnele rămân la fel: 5 + (−3 + 2) = 5 − 3 + 2;
• − înaintea parantezei: paranteza dispare, toate semnele din ea se schimbă: 5 − (−3 + 2) = 5 + 3 − 2 = 6.

Greșeala frecventă la minus înaintea parantezei este schimbarea doar a primului semn: 5 − (−3 + 2) NU este 5 + 3 + 2. Se schimbă semnul fiecărui termen din paranteză.

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

La înmulțire și împărțire lucrăm în doi pași: întâi semnul, apoi modulul. Regula semnelor:

• plus · plus = plus;
• minus · minus = plus;
• plus · minus = minus;
• minus · plus = minus.

Pe scurt: semne identice → plus, semne diferite → minus. Exemple: (−4) · (−5) = +20; (−4) · 5 = −20; (−36) : (−9) = +4; 36 : (−9) = −4.

Aceeași regulă e valabilă și la împărțire, pentru că împărțirea este operația inversă înmulțirii.

Atenție la o confuzie foarte răspândită: regula „minus cu minus dă plus” este pentru înmulțire și împărțire, NU pentru adunare! (−3) + (−5) = −8, nu +8. La adunare, două minusuri înseamnă două datorii, care se adună.

Când înmulțim mai mulți factori, semnul rezultatului depinde de numărul factorilor negativi:

• număr par de minusuri → rezultat pozitiv;
• număr impar de minusuri → rezultat negativ.

Exemplu: (−1) · (−2) · (−3) = −6 (trei minusuri, deci minus).

Orice număr înmulțit cu 0 dă 0, iar dacă un produs este 0, cel puțin un factor este 0. Împărțirea la 0 rămâne fără sens și în Z.

Ordinea operațiilor în Z

Regulile de ordine învățate la numerele naturale rămân neschimbate în Z:

• întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade);
• apoi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta;
• la final adunările și scăderile, de la stânga la dreapta.

Noutatea este că acum trebuie să urmărim și semnele. Strategia sigură: la fiecare pas, stabilește întâi semnul rezultatului, apoi calculează modulul.

Exemplu rezolvat pas cu pas: −3 + 2 · (−5) − (−12) : 4

• 2 · (−5) = −10 (semne diferite → minus);
• (−12) : 4 = −3 (semne diferite → minus);
• expresia devine: −3 + (−10) − (−3) = −3 − 10 + 3;
• calculăm de la stânga: −3 − 10 = −13, apoi −13 + 3 = −10.

Două capcane de punctaj:

• la −13 + 3 unii răspund −16, adunând modulele; dar semnele sunt diferite, deci se scad modulele și rămâne semnul lui −13, adică −10;
• semnul − din fața unei paranteze care tocmai a fost calculată se pierde ușor pe drum; scrie fiecare pas complet, cu tot cu semne, în loc să faci două transformări deodată.

La exercițiile lungi, o singură eroare de semn strică tot rezultatul, așa că verificarea semnelor la final este obligatorie.

Test — 6 întrebări ca la examen