Rapoarte și proporții

Studiul rapoartelor dintre mărimi și al proporțiilor, cu aplicații în calcul practic.

Raportul a două numere

Raportul a două numere (al doilea diferit de 0) este câtul lor: raportul dintre a și b se scrie a/b sau a : b. El răspunde la întrebarea: de câte ori este primul număr mai mare (sau ce parte reprezintă) față de al doilea?

Exemplu: într-o clasă sunt 12 fete și 16 băieți. Raportul dintre numărul fetelor și cel al băieților este 12/16 = 3/4 — la fiecare 3 fete corespund 4 băieți.

Două lucruri de reținut din start:

• ordinea contează: raportul fetelor față de băieți este 3/4, dar al băieților față de fete este 4/3 — nu sunt același lucru;
• raportul se lasă de obicei sub formă de fracție ireductibilă sau se scrie ca număr zecimal: 3/4 = 0,75.

Când comparăm mărimi de același fel (lungimi, mase, prețuri), ele trebuie aduse mai întâi la aceeași unitate de măsură. Raportul dintre 50 cm și 2 m NU este 50/2, ci 50/200 = 1/4, pentru că 2 m = 200 cm. Uitarea transformării unităților este una dintre cele mai frecvente greșeli de punctaj la acest capitol.

Raportul este un număr fără unitate de măsură — centimetrii de sus se simplifică cu centimetrii de jos. Exact de aceea rapoartele pot compara orice: viteze, prețuri, scări de hartă.

Proporții și proprietatea fundamentală

O proporție este o egalitate de două rapoarte: a/b = c/d. Se citește: a este față de b așa cum c este față de d. De exemplu 3/4 = 9/12.

Numerele care formează proporția se numesc termenii proporției:

• a și d sunt extremii (primul și ultimul);
• b și c sunt mezii (cei din mijloc).

Proprietatea fundamentală a proporțiilor: într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:

• a/b = c/d înseamnă a · d = b · c.

Verificare pe exemplu: 3/4 = 9/12 pentru că 3 · 12 = 4 · 9 = 36.

De aici vine cel mai folosit instrument al capitolului: aflarea termenului necunoscut. Dacă x/6 = 10/15, atunci x · 15 = 6 · 10, deci x = 60 : 15 = 4. Regula practică: termenul necunoscut este egal cu produsul termenilor de pe diagonala opusă, împărțit la termenul rămas.

Atenție la o confuzie des întâlnită: proprietatea fundamentală se aplică doar la proporții (egalități de rapoarte), nu la orice fracții puse una lângă alta. Întâi verifici sau ți se spune că egalitatea există, abia apoi înmulțești încrucișat.

Șiruri de rapoarte egale

Uneori nu avem doar două rapoarte egale, ci mai multe: a/x = b/y = c/z. Un asemenea lanț se numește șir de rapoarte egale.

Proprietatea-cheie a șirurilor: valoarea comună a rapoartelor este egală și cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor:

• a/x = b/y = c/z = (a + b + c)/(x + y + z).

Această proprietate rezolvă elegant problemele de împărțire a unei cantități în părți proporționale. Exemplu clasic: trei frați împart 120 de lei proporțional cu vârstele lor, 3, 4 și 5 ani.

• notăm sumele cu a, b, c; avem a/3 = b/4 = c/5 și a + b + c = 120;
• din proprietate: fiecare raport este egal cu (a + b + c)/(3 + 4 + 5) = 120/12 = 10;
• deci a = 3 · 10 = 30 lei, b = 4 · 10 = 40 lei, c = 5 · 10 = 50 lei.

Valoarea 10 se numește adesea coeficientul de proporționalitate — cât valorează o „parte”.

Verificarea finală e obligatorie și gratuită: 30 + 40 + 50 = 120. Dacă suma nu iese, s-a greșit undeva.

Greșeala tipică: elevii împart cantitatea la numărul de persoane (120 : 3 = 40 fiecare), ignorând că părțile trebuie să fie proporționale, nu egale. Citirea atentă a enunțului face diferența.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori. Echivalent: raportul valorilor lor rămâne constant.

Exemple din viața reală:

• numărul de pâini și prețul plătit: de 3 ori mai multe pâini → de 3 ori mai mulți bani;
• distanța parcursă și timpul, la viteză constantă;
• cantitatea de făină și numărul de prăjituri făcute după aceeași rețetă.

Dacă 2 kg de mere costă 8 lei, atunci 6 kg (de 3 ori mai mult) costă 24 lei (de 3 ori mai mult). Tabelul valorilor păstrează raportul: 8/2 = 24/6 = 4 — acesta este coeficientul de proporționalitate (prețul unui kilogram).

Nu orice mărimi care „cresc împreună” sunt direct proporționale! Înălțimea și vârsta unui copil cresc amândouă, dar nu proporțional — la dublul vârstei nu ai dublul înălțimii. Testul corect este mereu raportul constant, nu doar sensul creșterii.

Recunoașterea în probleme: formulări precum „la fiecare... corespund...”, „costă la fel per bucată”, „aceeași viteză”, „aceeași rețetă” indică proporționalitate directă. În acel moment putem scrie o proporție și aplica proprietatea fundamentală.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori. Echivalent: produsul valorilor lor rămâne constant.

Exemple:

• numărul de muncitori și timpul necesar unei lucrări: de 2 ori mai mulți muncitori → de 2 ori mai puțin timp;
• viteza și timpul pentru aceeași distanță: mergi de 2 ori mai repede → ajungi în jumătate din timp;
• numărul de felii dintr-un tort și mărimea unei felii.

Dacă 4 muncitori termină un gard în 6 zile, atunci produsul constant este 4 · 6 = 24 („zile-muncitor” necesare lucrării). Cu 8 muncitori: 24 : 8 = 3 zile. Cu 2 muncitori: 24 : 2 = 12 zile.

Comparație directă între cele două tipuri, așa cum apare la examen:

• direct proporționale → raport constant → a/b = c/d;
• invers proporționale → produs constant → a · b = c · d.

Capcana clasică a capitolului: aplicarea proporționalității directe într-o problemă inversă. „4 muncitori — 6 zile; 8 muncitori — x zile” rezolvată cu 4/6 = 8/x dă x = 12 zile, adică mai mulți muncitori ar lucra MAI MULT — evident absurd. Înainte de orice calcul, întreabă-te: dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade? Bunul-simț al situației alege tipul de proporționalitate.

Regula de trei simplă

Regula de trei simplă este metoda standard de rezolvare când cunoaștem trei valori și o căutăm pe a patra, iar mărimile sunt proporționale (direct sau invers).

Așezăm datele pe două rânduri, cu aceleași unități una sub alta.

Cazul direct proporțional — 3 caiete costă 12 lei; cât costă 7 caiete?

• 3 caiete .......... 12 lei
• 7 caiete .......... x lei

Mărimile sunt direct proporționale (mai multe caiete → mai mulți bani), deci scriem proporția 3/7 = 12/x, de unde x = 7 · 12 : 3 = 28 lei. Practic: înmulțim pe diagonală valorile cunoscute și împărțim la a treia.

Metoda alternativă, reducerea la unitate, e uneori mai intuitivă: 1 caiet costă 12 : 3 = 4 lei, deci 7 caiete costă 7 · 4 = 28 lei.

Cazul invers proporțional — 6 robinete umplu un bazin în 10 ore; în cât timp îl umplu 4 robinete?

• 6 robinete .......... 10 ore
• 4 robinete .......... x ore

Mai puține robinete → mai mult timp, deci mărimile sunt invers proporționale: produsul e constant, 6 · 10 = 4 · x, de unde x = 60 : 4 = 15 ore. Aici înmulțim pe linie, nu pe diagonală.

Algoritmul complet: 1) identifică cele două mărimi; 2) stabilește tipul de proporționalitate punând întrebarea „crește sau scade?”; 3) scrie relația potrivită (raport egal sau produs egal); 4) calculează și verifică dacă rezultatul are sens în context.

Test — 6 întrebări ca la examen