Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

Recapitularea și aprofundarea operațiilor cu numere naturale, inclusiv divizibilitate și proprietăți ale acestora.

Mulțimi și elemente. Cum le scriem

O mulțime este o colecție de obiecte bine precizate, numite elemente. De exemplu, mulțimea vocalelor din limba română sau mulțimea numerelor pare mai mici decât 10.

O mulțime se scrie cu literă mare (A, B, M), iar elementele ei se pun între acolade: A = {2, 4, 6, 8}. Reguli importante:

• fiecare element se scrie o singură dată — în mulțime nu există elemente care se repetă;
• ordinea elementelor nu contează: {1, 2, 3} și {3, 1, 2} sunt aceeași mulțime.

Ca să spunem că un element face parte dintr-o mulțime folosim semnul ∈ (aparține): 4 ∈ A. Dacă nu face parte, scriem ∉: 5 ∉ A.

Mulțimea fără niciun element se numește mulțimea vidă și se notează ∅. Atenție la o confuzie clasică: ∅ și {0} NU sunt același lucru — {0} are un element (numărul 0), pe când ∅ nu are niciunul.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu N și conține numerele 0, 1, 2, 3, 4, ... — șirul lor nu se termină niciodată. Dacă scoatem numărul 0, obținem mulțimea notată N* = {1, 2, 3, ...}.

Operațiile cu numere naturale

Adunarea are termeni și sumă. Ea este comutativă (3 + 5 = 5 + 3) și asociativă (putem grupa termenii cum ne convine). Numărul 0 este element neutru: a + 0 = a.

Scăderea are descăzut, scăzător și diferență (rest). În N putem scădea doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul. Proba scăderii: diferența + scăzătorul = descăzutul.

Înmulțirea are factori și produs. Este comutativă și asociativă, iar elementul neutru este 1 (nu 0!). Orice număr înmulțit cu 0 dă 0. Proprietatea cea mai folosită în calcule este distributivitatea: a · (b + c) = a · b + a · c — de exemplu 7 · 102 = 7 · 100 + 7 · 2 = 714.

Împărțirea are deîmpărțit, împărțitor și cât. Când împărțirea nu se face exact, apare și un rest. Regula de aur, numită teorema împărțirii cu rest:

• D = Î · C + R, cu condiția obligatorie R < Î (restul este strict mai mic decât împărțitorul).

Împărțirea la 0 nu are sens — nu există niciun rezultat pentru a : 0. În schimb 0 împărțit la orice număr diferit de 0 dă 0. Cele două situații se confundă des, dar sunt complet diferite.

Ordinea efectuării operațiilor

Când un exercițiu conține mai multe operații, NU le facem de la stânga la dreapta la întâmplare, ci respectăm o ordine strictă:

• Ordinul II: înmulțirile și împărțirile se fac primele, în ordinea în care apar de la stânga la dreapta;
• Ordinul I: adunările și scăderile se fac la final, tot de la stânga la dreapta.

Exemplu: 20 − 2 · 3 = 20 − 6 = 14, nu 18 · 3 = 54. Cine adună înainte să înmulțească pierde punctele întregi ale exercițiului.

Dacă apar paranteze, ele au prioritate absolută și se rezolvă din interior spre exterior:

• întâi parantezele rotunde ( ),
• apoi parantezele pătrate [ ],
• la final acoladele { }.

După ce calculăm ce e într-o paranteză rotundă, paranteza pătrată care o conținea devine rotundă, iar acolada devine pătrată — coborâm câte o treaptă.

Exemplu complet: 2 · [10 − (3 + 4)] = 2 · [10 − 7] = 2 · 3 = 6.

O greșeală frecventă: la 24 : 4 · 2 unii calculează întâi 4 · 2. Greșit! Împărțirea și înmulțirea au aceeași putere, deci mergem de la stânga la dreapta: 24 : 4 = 6, apoi 6 · 2 = 12.

Divizori, multipli și criteriile de divizibilitate

Spunem că un număr natural a se divide cu b dacă împărțirea a : b se face exact (rest 0). Atunci b este divizor al lui a, iar a este multiplu al lui b. Exemplu: 12 se divide cu 3, deci 3 este divizor al lui 12, iar 12 este multiplu al lui 3.

Divizorii lui 12: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} — orice număr are ca divizori pe 1 și pe el însuși. Multiplii lui 3: M3 = {0, 3, 6, 9, 12, ...} — mulțimea multiplilor este infinită și îl conține mereu pe 0.

Criteriile de divizibilitate ne scutesc de împărțiri lungi:

• cu 2: numărul se termină în cifră pară (0, 2, 4, 6, 8);
• cu 5: se termină în 0 sau 5;
• cu 10: se termină în 0;
• cu 3: suma cifrelor se divide cu 3;
• cu 9: suma cifrelor se divide cu 9.

Atenție la capcana clasică: la 3 și 9 NU ne uităm la ultima cifră, ci la suma cifrelor! Numărul 13 se termină în 3, dar nu se divide cu 3 (1 + 3 = 4).

Un număr cu exact doi divizori (1 și el însuși) se numește număr prim: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Numărul 2 este singurul număr prim par. Numărul 1 NU este prim, pentru că are un singur divizor.

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două numere este cel mai mare număr care le divide pe amândouă. Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) este cel mai mic număr diferit de 0 care se divide cu amândouă.

La numere mici, le găsim direct din liste. Pentru 12 și 18:

• divizori comuni: 1, 2, 3, 6 → c.m.m.d.c. = 6;
• multipli ai lui 12: 12, 24, 36, 48...; multipli ai lui 18: 18, 36, 54... → c.m.m.m.c. = 36.

Metoda generală folosește descompunerea în factori primi: 12 = 2² · 3 și 18 = 2 · 3².

• pentru c.m.m.d.c. luăm factorii comuni, la puterea cea mai mică: 2 · 3 = 6;
• pentru c.m.m.m.c. luăm factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare: 2² · 3² = 36.

Regula „comuni cu puterea mică” versus „toți cu puterea mare” se inversează frecvent la lucrări — merită repetată până devine reflex.

Două numere cu c.m.m.d.c. egal cu 1 se numesc prime între ele (de exemplu 8 și 15). Atenție: ele nu trebuie să fie fiecare prim — 8 și 15 nu sunt prime, dar sunt prime între ele.

În probleme, c.m.m.d.c. apare când împărțim ceva în grupe egale cât mai mari, iar c.m.m.m.c. apare când două evenimente se repetă și întrebăm când se întâlnesc (autobuze care pleacă la intervale diferite).

Test — 6 întrebări ca la examen