Se definesc vectorii, operațiile cu vectori și se aplică în geometrie.
Un segment orientat AB este un segment cu un sens de parcurgere fixat: A este originea, B este extremitatea (vârful săgeții). Un vector este clasa tuturor segmentelor orientate care au aceleași trei caracteristici:
Distincția direcție–sens trebuie stăpânită: două vectori pot avea aceeași direcție dar sensuri opuse (săgeți paralele care arată în părți diferite). „Direcția” în matematică nu înseamnă „încotro arată”, ci pe ce familie de drepte paralele stă vectorul.
Diferența esențială față de segmentul obișnuit: segmentul AB și segmentul BA sunt identice, dar vectorii AB și BA sunt diferiți — au același modul și aceeași direcție, dar sensuri opuse: vectorul BA = −vectorul AB. Ignorarea ordinii literelor este sursa numărul unu de erori de semn în tot capitolul.
Vectorul nul, notat 0 cu săgeată, are modulul 0, originea și extremitatea confundate; prin convenție, direcția și sensul lui sunt nedeterminate.
Vectori opuși: același modul, aceeași direcție, sensuri contrare. Vectori coliniari: au aceeași direcție (dreptele lor suport sunt paralele sau confundate) — pot avea sensuri identice sau opuse și module oricât de diferite.
În reperul cartezian, vectorul se scrie cu coordonate: vectorul v = x·i + y·j, unde i și j sunt versorii axelor (vectori de modul 1 pe direcțiile Ox, respectiv Oy). Pentru punctele A și B, vectorul AB are coordonatele (x_B − x_A, y_B − y_A) — extremitate minus origine, nu invers.
Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Egalitatea NU cere ca segmentele orientate să pornească din același punct: vectorul poate fi „mutat” oriunde în plan prin translație — aceasta este ideea de vector liber, care face vectorii atât de utili în geometrie.
Criteriul geometric fundamental: vectorul AB = vectorul DC dacă și numai dacă ABCD este paralelogram (cu vârfurile citite în această ordine). Atenție maximă la ordinea literelor — în paralelogramul ABCD egalitatea corectă este AB = DC, NU AB = CD; vectorii AB și CD au sensuri opuse, pentru că lateralele se parcurg în sensuri contrare la ocolirea conturului. Această nuanță pică la examen an de an.
Pe coordonate, egalitatea devine algebră pură: doi vectori sunt egali dacă și numai dacă au coordonatele respectiv egale — din egalitatea (a, b) = (c, d) rezultă a = c și b = d, un sistem de două ecuații.
Vectorul de poziție al punctului M este vectorul OM, cu originea în O al reperului: coordonatele lui coincid cu coordonatele punctului M. Orice vector AB se exprimă prin vectorii de poziție ai capetelor:
vectorul AB = vectorul OB − vectorul OA („unde ajung minus de unde plec”).
Formulele-cheie exprimate cu vectori de poziție, cerute direct în subiecte:
Modulul unui vector pe coordonate: |v| = √(x² + y²) — aceeași teoremă a lui Pitagora ca la distanța dintre puncte, ceea ce nu e o coincidență: |vectorul AB| este exact distanța de la A la B.
Adunarea vectorilor se face prin două reguli geometrice echivalente:
Cele două reguli dau același rezultat; triunghiul e comod la lanțuri de vectori, paralelogramul la forțe care acționează în același punct (legătura cu fizica).
Relația lui Chasles se generalizează la orice lanț: vectorul AB + vectorul BC + vectorul CD = vectorul AD. Consecință extrem de utilă: suma vectorilor pe un contur închis este vectorul nul — vectorul AB + vectorul BC + vectorul CA = 0.
Pe coordonate, adunarea este simplă: se adună coordonatele corespunzătoare — (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).
Proprietăți: comutativitate, asociativitate, vectorul nul e element neutru, iar opusul lui v este −v.
Scăderea: u − v = u + (−v). Cu origini comune: vectorul OA − vectorul OB = vectorul BA — rezultatul „arată spre” vectorul din care se scade; inversarea (obținerea lui AB) este greșeala tipică de semn.
Capcana conceptuală majoră: modulul sumei nu este suma modulelor. |u + v| = |u| + |v| doar când vectorii au același sens; în general |u + v| ≤ |u| + |v| (inegalitatea triunghiului). Pentru doi vectori perpendiculari de module 3 și 4, modulul sumei este √(9+16) = 5, nu 7.
Produsul dintre numărul real (scalarul) k și vectorul v este vectorul k·v cu proprietățile:
Geometric, înmulțirea cu scalar „întinde” sau „comprimă” vectorul, eventual întorcându-l: 2v este de două ori mai lung, −v/2 este jumătate din lungime și sens invers.
Proprietăți de calcul (distributivități): k(u + v) = ku + kv și (k + l)v = kv + lv — vectorii se manipulează algebric aproape ca numerele, cu excepția faptului că nu se înmulțesc doi vectori între ei la acest nivel.
Condiția de coliniaritate — teorema centrală a capitolului: vectorii u și v (v nenul) sunt coliniari dacă și numai dacă există un scalar k cu u = k·v.
Pe coordonate: u(x₁, y₁) și v(x₂, y₂) sunt coliniari dacă și numai dacă x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0 (coordonatele proporționale). Această condiție transformă problemele de paralelism și coliniaritate în ecuații.
Aplicarea la puncte: A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii AB și AC sunt coliniari — se calculează cei doi vectori și se verifică proporționalitatea coordonatelor.
Greșeala de interpretare frecventă: din u = k·v cu k negativ, elevii conchid că vectorii „nu sunt coliniari pentru că au sensuri opuse”. Fals — coliniaritatea privește doar direcția; sensurile opuse sunt perfect compatibile cu coliniaritatea (k < 0). La fel, coliniaritatea nu cere module egale.
Doi vectori necoliniari u și v formează o bază a planului: orice vector w se scrie în mod unic sub forma
w = a·u + b·v,
cu a și b numere reale, numite coordonatele lui w în baza (u, v). Cuvântul-cheie este unic — unicitatea este cea care face descompunerea utilă: dacă a·u + b·v = a′·u + b′·v, atunci a = a′ și b = b′ (identificarea coeficienților).
Condiția de necoliniaritate nu e decorativă: după doi vectori coliniari nu se poate descompune decât ce e coliniar cu ei, iar unicitatea se pierde. „Doi vectori necoliniari” este pentru plan ce este „o pereche de axe” pentru coordonate.
Baza standard este (i, j) — versorii axelor: scrierea v = x·i + y·j este exact scrierea pe coordonate v(x, y). Orice altă pereche de vectori necoliniari funcționează însă la fel de bine, iar subiectele de examen exploatează tocmai baze neortogonale: „exprimați vectorul AM în funcție de vectorii AB și AC”.
Tehnica practică de descompunere în probleme de geometrie: se aleg ca bază doi vectori „naturali” ai figurii (de regulă două laturi cu origine comună), apoi orice alt vector se construiește pe drumuri prin relația lui Chasles și proprietățile figurii. Exemplu-tip în triunghiul ABC cu M mijlocul lui BC:
vectorul AM = vectorul AB + vectorul BM = vectorul AB + (1/2)·vectorul BC = vectorul AB + (1/2)(vectorul AC − vectorul AB) = (1/2)(vectorul AB + vectorul AC) — formula medianei, rezultat de reținut.
Metoda identificării coeficienților rezolvă apoi ecuațiile vectoriale: dacă ai obținut același vector pe două drumuri, egalezi coeficienții lui u și v și obții un sistem numeric. Greșeala frecventă: egalarea coeficienților în baze formate din vectori coliniari, unde identificarea nu este permisă.
Vectorii transformă demonstrațiile geometrice în calcule algebrice. Instrumentele și tipurile de probleme standard:
Demonstrarea coliniarității: pentru a arăta că punctele M, N, P sunt coliniare, se exprimă vectorii MN și MP în aceeași bază și se arată că unul este multiplu scalar al celuilalt. Bonus: scalarul găsit dă și raportul lungimilor — din MN = (2/3)·MP rezultă și poziția exactă a punctelor.
Demonstrarea paralelismului: două drepte sunt paralele dacă vectorii lor directori sunt coliniari (și dreptele nu coincid). Tipic: „arătați că MN este paralelă cu BC” devine „arătați că vectorul MN = k·vectorul BC”.
Teorema liniei mijlocii, vectorial: dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci vectorul MN = (1/2)·vectorul BC — demonstrația în două rânduri prin Chasles arată forța metodei față de demonstrația sintetică.
Identificarea paralelogramului: ABCD este paralelogram dacă și numai dacă vectorul AB = vectorul DC — echivalent cu faptul că diagonalele au același mijloc.
Formule de poziție care se cer des:
Împărțirea unui segment într-un raport dat: dacă M împarte AB astfel încât vectorul AM = k·vectorul AB, atunci pentru orice origine O: vectorul OM = (1 − k)·vectorul OA + k·vectorul OB.
Strategia generală la subiectele de tip „arătați că”: alege o bază de doi vectori necoliniari ai figurii, exprimă TOT în acea bază, apoi compară coeficienții. Greșelile care strică demonstrații corecte: inversarea sensului unui vector la parcurgerea unui drum (BA în loc de AB) și amestecarea vectorilor cu lungimile lor — egalitatea de vectori este mai puternică decât egalitatea de lungimi și nu se deduce din ea.