Elemente de geometrie analitică în plan

Se introduce sistemul de coordonate cartezian și se studiază dreapta în plan din perspectivă analitică.

Sistemul de axe carteziene

Reperul cartezian xOy este format din două axe perpendiculare: Ox (axa absciselor, orizontală) și Oy (axa ordonatelor, verticală), intersectate în originea O. Fiecare punct al planului este identificat printr-o pereche ordonată de numere reale: M(x_M, y_M), unde x_M este abscisa și y_M este ordonata. Ideea fundamentală a geometriei analitice: figurile geometrice devin mulțimi de perechi de numere, iar proprietățile geometrice devin relații algebrice.

Ordinea coordonatelor nu e negociabilă: punctul (2, 5) este diferit de punctul (5, 2) — prima coordonată se citește pe orizontală, a doua pe verticală. Confuzia abscisă–ordonată este cea mai banală și cea mai costisitoare eroare a capitolului.

Axele împart planul în patru cadrane, numerotate în sens invers acelor de ceasornic: cadranul I (x > 0, y > 0), cadranul II (x < 0, y > 0), cadranul III (x < 0, y < 0), cadranul IV (x > 0, y < 0). Poziționarea unui punct în cadran după semnele coordonatelor este întrebare de grilă rapidă.

Puncte particulare de recunoscut instant: punctele de pe Ox au ordonata 0 — forma (a, 0); punctele de pe Oy au abscisa 0 — forma (0, b); originea este (0, 0).

Simetriile unui punct M(x, y), cerute frecvent: față de Ox → (x, −y); față de Oy → (−x, y); față de origine → (−x, −y). Reținere logică: simetria față de o axă schimbă semnul celeilalte coordonate.

Distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment

Distanța dintre punctele A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B):

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).

Formula este teorema lui Pitagora deghizată: diferențele de coordonate sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza AB. De aceea ordinea punctelor nu contează — diferențele se ridică la pătrat. Greșeala tipică: uitarea pătratelor sau scrierea sumei coordonatelor în loc de diferență.

Mijlocul segmentului AB este punctul M cu coordonatele media aritmetică a coordonatelor capetelor:

x_M = (x_A + x_B)/2, y_M = (y_A + y_B)/2.

Atenție la confuzia dintre cele două formule: la distanță se scad coordonatele, la mijloc se adună — cine amestecă operațiile obține rezultate fără sens (de exemplu coordonate de mijloc negative pentru un segment aflat în întregime în cadranul I).

Centrul de greutate al triunghiului ABC extinde ideea mediei: G((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3).

Aplicații standard de examen construite doar cu aceste formule:

• natura unui triunghi: calculezi cele trei lungimi de laturi; laturi egale → isoscel/echilateral; verificarea AB² + AC² = BC² → dreptunghic (reciproca lui Pitagora);
• paralelogramul ABCD: diagonalele au același mijloc — se verifică egalitatea mijloacelor lui AC și BD; ordinea literelor contează: în paralelogramul ABCD diagonalele sunt AC și BD, nu AB și CD;
• apartenența a trei puncte la o dreaptă se poate testa și cu AB + BC = AC (puncte coliniare cu B între A și C), deși testul cu panta, din secțiunea următoare, este de obicei mai rapid.

Panta unei drepte

Panta (coeficientul unghiular) unei drepte care trece prin punctele A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B), cu x_A ≠ x_B:

m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) — raportul dintre variația ordonatelor și variația absciselor („cât urcă dreapta pentru fiecare unitate parcursă spre dreapta”).

Regulile de coerență ale formulei: diferențele se fac în aceeași ordine la numărător și numitor (dacă începi cu y_B, începi și cu x_B); inversarea unei singure ordini schimbă semnul pantei — eroarea clasică.

Citirea geometrică a pantei:

• m > 0: dreapta urcă (de la stânga la dreapta);
• m < 0: dreapta coboară;
• m = 0: dreaptă orizontală (paralelă cu Ox), de ecuație y = constant;
• dreapta verticală (paralelă cu Oy, ecuație x = constant) nu are pantă — numitorul formulei ar fi zero. „Panta infinită” nu este un răspuns acceptat; se spune că panta nu este definită.

Distincția m = 0 versus pantă inexistentă este grilă frecventă: orizontala ARE pantă (zero), verticala NU are.

Legătura cu funcția de gradul I: graficul lui f(x) = ax + b este o dreaptă cu panta a — panta este exact coeficientul lui x din forma y = mx + n. De aici și legătura cu monotonia: pantă pozitivă ↔ funcție crescătoare.

Coliniaritatea a trei puncte se testează cu pante: A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă panta lui AB este egală cu panta lui AC (dreptele AB și AC au un punct comun A, deci pante egale înseamnă aceeași dreaptă).

Ecuația dreptei în plan

Dreapta se descrie algebric în mai multe forme echivalente, fiecare potrivită altui tip de problemă:

• forma explicită: y = mx + n — m este panta, n este ordonata la origine (dreapta taie Oy în (0, n)); nu poate descrie dreptele verticale;
• forma generală: ax + by + c = 0 — acoperă TOATE dreptele, inclusiv verticale (b = 0); din ea panta se extrage ca m = −a/b, pentru b ≠ 0 — minusul din formulă se uită frecvent;
• dreapta prin un punct cu pantă dată: y − y₀ = m(x − x₀) — forma cea mai rapidă când ai un punct și panta;
• dreapta prin două puncte A și B: calculezi întâi panta m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), apoi aplici forma punct–pantă cu oricare dintre puncte.

Verificarea de bază, cerută explicit sau implicit la aproape orice subiect: un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația — se înlocuiesc ambele coordonate și se verifică egalitatea. Punctul (1, 5) aparține dreptei y = 2x + 3 pentru că 5 = 2 · 1 + 3.

Cazurile speciale de memorat: axa Ox are ecuația y = 0; axa Oy are ecuația x = 0; dreptele orizontale sunt y = k; dreptele verticale sunt x = k. Elevii confundă des ecuațiile axelor între ele — logica este: pe Ox toate punctele au ordonata nulă, deci ecuația vorbește despre y.

Intersecțiile unei drepte cu axele: cu Ox se pune y = 0 și se rezolvă în x; cu Oy se pune x = 0. La dreapta 2x + 3y − 6 = 0: intersecția cu Ox este (3, 0), cu Oy este (0, 2) — cele două puncte ajung pentru trasarea dreptei.

Paralelism, perpendicularitate și poziția relativă a două drepte

Pozițiile relative a două drepte se citesc din pante (când există):

• paralele: d₁ ∥ d₂ ⇔ m₁ = m₂ (și n₁ ≠ n₂, altfel dreptele coincid);
• perpendiculare: d₁ ⊥ d₂ ⇔ m₁ · m₂ = −1;
• concurente: m₁ ≠ m₂ — se intersectează într-un singur punct.

Condiția de perpendicularitate se mai citește: panta perpendicularei este opusul inversului pantei date — pentru m = 2/3, perpendiculara are panta −3/2. Greșelile tipice: doar inversul (3/2), doar opusul (−2/3) sau confuzia cu regula paralelismului.

Caz special netratat de formule: dreptele verticale. O verticală este perpendiculară pe orice orizontală, deși produsul pantelor nu se poate calcula (verticala nu are pantă) — la subiecte cu drepte de tip x = 3 se argumentează direct, nu prin m₁ · m₂ = −1.

Punctul de intersecție a două drepte concurente se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor — coordonatele punctului comun verifică ambele ecuații. Corespondența completă cu discuția sistemelor liniare: soluție unică ↔ drepte concurente; sistem incompatibil ↔ paralele distincte; infinitate de soluții ↔ drepte confundate.

Pe forma generală a₁x + b₁y + c₁ = 0 și a₂x + b₂y + c₂ = 0, criteriile devin rapoarte: paralele când a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂; confundate când toate trei rapoartele sunt egale.

Problema-tip de BAC care combină totul: „scrieți ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și este paralelă (sau perpendiculară) pe dreapta y = 3x − 1” — extragi panta dreptei date, o transformi după regulă (o păstrezi la paralelism, o faci −1/3 la perpendicularitate), apoi aplici y − y₀ = m(x − x₀).

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la punctul M(x₀, y₀) la dreapta d: ax + by + c = 0 este lungimea perpendicularei coborâte din M pe d și se calculează cu formula:

dist(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).

Condiția de aplicare care generează cele mai multe greșeli: dreapta trebuie adusă la forma generală (totul într-un membru, egal cu 0). Pentru y = 2x + 1 se rescrie întâi 2x − y + 1 = 0 și abia apoi se identifică a = 2, b = −1, c = 1 — cine citește coeficienții din forma explicită obține valori greșite.

Anatomia formulei: la numărător, valoarea expresiei dreptei calculată în punctul M, luată în modul (distanța nu poate fi negativă); la numitor, √(a² + b²) — normalizarea care face rezultatul independent de forma particulară a ecuației (înmulțirea ecuației cu o constantă nu schimbă distanța).

Exemplu complet: distanța de la M(3, 2) la dreapta 3x + 4y − 5 = 0 este |9 + 8 − 5|/√(9 + 16) = 12/5.

Cazul particular care dă verificarea de bun-simț: dacă M aparține dreptei, numărătorul este 0, deci distanța este 0.

Aplicațiile standard în subiecte:

• aria triunghiului cu vârfuri date: o latură este baza (lungimea prin formula distanței dintre puncte), înălțimea este distanța de la al treilea vârf la dreapta suportului bazei;
• distanța dintre două drepte paralele: se alege un punct oarecare pe una dintre ele și se calculează distanța de la el la cealaltă;
• tangența la cerc (pregătire pentru clasa a X-a): o dreaptă este tangentă cercului când distanța de la centru la dreaptă egalează raza.

Greșeala finală de neatenție: uitarea modulului de la numărător — o „distanță negativă” trebuie să declanșeze imediat recalcularea.

Test — 6 întrebări ca la examen