Elemente de trigonometrie

Se studiază funcțiile trigonometrice ale unui unghi și relațiile fundamentale dintre ele.

Grade și radiani

Unghiurile se măsoară în două unități, iar convertirea între ele este abilitate de bază la BAC.

Gradul sexagesimal: cercul complet are 360°, unghiul drept 90°.

Radianul: măsura unghiului la centru care subîntinde un arc de lungime egală cu raza cercului. Cercul complet are 2π radiani, deci corespondența fundamentală este:

180° = π radiani.

De aici, regulile de conversie prin regula de trei simplă:

• din grade în radiani: înmulțești cu π/180 — de exemplu 60° = 60π/180 = π/3;
• din radiani în grade: înmulțești cu 180/π — de exemplu 3π/4 = 3 · 180°/4 = 135°.

Corespondențele care trebuie știute fără calcul: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π.

Greșeala frecventă de memorare: confuzia π/3 cu π/6 (60° cu 30°). Verificare logică rapidă: π/3 este mai mare decât π/6, deci corespunde unghiului mai mare, 60°.

De ce există radianii: în matematică superioară (limite, derivate ale funcțiilor trigonometrice) formulele sunt simple doar în radiani; radianul este raportul a două lungimi (arc/rază), deci este un număr „pur”, fără unitate. Când în enunț apare sin x cu x număr real (fără simbolul de grad), argumentul este automat în radiani — sin 2 înseamnă sinusul a 2 radiani (aproximativ 114,6°), nu sin 2°.

Cercul trigonometric și definițiile funcțiilor

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în origine și raza 1, pe care unghiurile se măsoară de la semiaxa pozitivă Ox, în sens invers acelor de ceasornic (sensul trigonometric pozitiv). Fiecărui unghi t îi corespunde un punct M pe cerc, iar definițiile generale sunt:

• cos t = abscisa punctului M;
• sin t = ordonata punctului M.

Reper de memorare: cosinusul „stă culcat” pe orizontală (Ox), sinusul „stă în picioare” pe verticală (Oy). Inversarea lor este greșeala elementară cea mai des întâlnită.

Consecințe imediate ale definiției:

• −1 ≤ sin t ≤ 1 și −1 ≤ cos t ≤ 1 pentru orice t — punctul nu poate părăsi cercul de rază 1; orice rezultat de tip sin x = 2 este automat imposibil;
• semnele pe cadrane: în cadranul I ambele pozitive; în II doar sinusul pozitiv; în III ambele negative; în IV doar cosinusul pozitiv;
• periodicitatea: după o rotație completă punctul revine — sin(t + 2π) = sin t și cos(t + 2π) = cos t.

Celelalte două funcții se definesc prin rapoarte:

• tg t = sin t / cos t, definită când cos t ≠ 0 (adică t ≠ π/2 + kπ);
• ctg t = cos t / sin t, definită când sin t ≠ 0 (t ≠ kπ).

Condițiile de existență nu sunt opționale: tg 90° nu există — la subiect, discutarea existenței face parte din rezolvare. Tangenta și cotangenta au perioada π, nu 2π, iar semnele lor pe cadrane: pozitive în I și III, negative în II și IV (raportul a două numere cu același semn e pozitiv).

Valori pe axe de citit direct de pe cerc: sin 0 = 0, cos 0 = 1; sin 90° = 1, cos 90° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = −1; sin 270° = −1, cos 270° = 0.

Identitățile fundamentale

Identitatea fundamentală a trigonometriei:

sin²t + cos²t = 1, pentru orice t.

Ea este teorema lui Pitagora pe cercul trigonometric: abscisa și ordonata punctului M sunt catetele, raza 1 este ipotenuza. Din ea derivă tot ce urmează.

Utilizarea standard: cunoscând una dintre funcții, o afli pe cealaltă — din sin t = 3/5 rezultă cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, deci cos t = ±4/5. Semnul se decide după cadran, iar aici pică cei mai mulți candidați: dacă enunțul spune t ∈ (π/2, π) (cadranul II), atunci obligatoriu cos t = −4/5. Scrierea directă cos t = 4/5, fără analiza cadranului, este eroarea clasică de punctaj — radicalul are două semne, iar enunțul dă mereu informația necesară alegerii.

Atenție la notație: sin²t înseamnă (sin t)², nu sin(t²) — pătratul se aplică valorii funcției.

Identități derivate, cerute la exerciții:

• tg t · ctg t = 1 (unde ambele există) — tangenta și cotangenta sunt inverse una alteia;
• 1 + tg²t = 1/cos²t — se obține împărțind identitatea fundamentală la cos²t;
• 1 + ctg²t = 1/sin²t — analog, prin împărțire la sin²t.

Tehnica generală la „calculați celelalte funcții trigonometrice știind că...”: din datele problemei extragi sin sau cos prin identitatea fundamentală (cu semnul din cadran), apoi tg și ctg prin rapoarte.

La demonstrațiile de identități, strategia sigură este transformarea totului în sin și cos: expresiile cu tg și ctg devin fracții, se aduc la același numitor și se aplică identitatea fundamentală. Egalitățile se prelucrează dintr-un singur membru spre celălalt, nu prin operații simultane pe ambele părți ale egalului cu semnul întrebării.

Valorile pentru unghiurile remarcabile

Tabelul valorilor pentru 30°, 45°, 60° este obligatoriu la orice examen. Structura care îl face memorabil — sinusul urmează șirul √1/2, √2/2, √3/2:

• sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2;
• cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 — cosinusul parcurge același șir în ordine inversă;
• tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3;
• ctg este inversul tangentei: ctg 30° = √3, ctg 45° = 1, ctg 60° = √3/3.

Observații care previn confuziile:

• sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30° — nu e coincidență, ci prima manifestare a regulii co-funcțiilor: sin t = cos(90° − t); unghiurile 30° și 60° sunt complementare;
• la 45° sinusul și cosinusul sunt egale (triunghiul dreptunghic isoscel), deci tg 45° = 1;
• confuzia dominantă este între sin 30° și sin 60°: reper geometric — sinusul crește de la 0° la 90°, deci sin 60° trebuie să fie mai mare, adică √3/2.

Proveniența valorilor (utile de înțeles, nu doar memorat): pentru 30° și 60°, jumătatea de triunghi echilateral cu latura 2 — cateta opusă lui 30° este 1, ipotenuza 2, cealaltă catetă √3; pentru 45°, pătratul cu latura 1 tăiat pe diagonală — catete 1 și 1, ipotenuza √2.

Combinate cu unghiurile de pe axe (0°, 90°, 180°, 270°) și cu semnele pe cadrane, aceste valori acoperă toate calculele cerute: de exemplu sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2, cu tehnica din secțiunea următoare.

Expresiile numerice de tip E = sin 30° + cos 60° − tg 45° se evaluează prin înlocuire directă: 1/2 + 1/2 − 1 = 0 — subiect I de BAC în forma cea mai pură.

Unghiuri asociate și reducerea la primul cadran

Funcțiile trigonometrice ale oricărui unghi se reduc la funcțiile unui unghi din primul cadran (0°–90°), prin formulele unghiurilor asociate:

Unghiuri complementare (suma 90°): sin(90° − t) = cos t și cos(90° − t) = sin t — co-funcțiile se schimbă între ele.

Unghiuri suplementare (suma 180°), cheia cadranului II:

• sin(180° − t) = sin t — sinusul se păstrează;
• cos(180° − t) = −cos t — cosinusul își schimbă semnul.

Exemplu: sin 120° = sin 60° = √3/2, dar cos 120° = −cos 60° = −1/2.

Unghiuri opuse: sin(−t) = −sin t (sinusul e funcție impară), cos(−t) = cos t (cosinusul e funcție pară). Paritatea cosinusului surprinde: cos(−30°) = cos 30° = √3/2, fără minus.

Cadranul III (t + 180°): ambele funcții își schimbă semnul — sin(180° + t) = −sin t, cos(180° + t) = −cos t.

Algoritmul general de reducere la primul cadran, pas cu pas:

1. dacă unghiul depășește 360°, scazi multipli de 360° (periodicitatea); 2. stabilești cadranul și de aici semnul funcției cerute; 3. calculezi unghiul de referință (distanța până la axa Ox: 180° − t în cadranul II, t − 180° în III, 360° − t în IV); 4. valoarea = semnul din cadran × valoarea funcției în unghiul de referință.

Exemplu complet: cos 210° — cadranul III, cosinus negativ, unghi de referință 210° − 180° = 30°, deci cos 210° = −√3/2.

Greșeala sistematică: aplicarea valorii fără semn sau a semnului fără schimbarea corectă a unghiului. Ordinea sigură este mereu: întâi cadranul și semnul, apoi unghiul de referință. Merită verificat pe cercul desenat — schița de 10 secunde previne minusurile pierdute.

Trigonometria triunghiului dreptunghic

În triunghiul dreptunghic, pentru un unghi ascuțit t, definițiile clasice — echivalente cu cele de pe cerc:

• sin t = cateta opusă / ipotenuză;
• cos t = cateta alăturată / ipotenuză;
• tg t = cateta opusă / cateta alăturată;
• ctg t = cateta alăturată / cateta opusă.

Greșeala fundamentală aici este identificarea greșită a catetei „opuse”: opusă înseamnă în fața unghiului (nu-l atinge), alăturată înseamnă că formează unghiul împreună cu ipotenuza. Pentru unghiuri diferite ale aceluiași triunghi, rolurile catetelor se schimbă — cateta opusă lui B este alăturată lui C.

Din definiții rezultă instrumentarul de rezolvare a triunghiului dreptunghic:

• cateta = ipotenuza × sinusul unghiului opus = ipotenuza × cosinusul unghiului alăturat;
• cateta = cealaltă catetă × tangenta unghiului opus;
• unghiurile ascuțite sunt complementare: B + C = 90°.

Problemele aplicative standard: înălțimea unui turn văzut sub un unghi de elevație dat, lungimea unei scări sprijinite de zid, distanțe inaccesibile. Schema de rezolvare: desenezi triunghiul dreptunghic, marchezi ce se cunoaște (o latură și un unghi ascuțit), alegi funcția care leagă datele de necunoscută.

Exemplu: o scară de 6 m face cu solul un unghi de 60°; înălțimea atinsă pe zid este cateta opusă unghiului, deci h = 6 · sin 60° = 3√3 ≈ 5,2 m.

Legături cu restul materiei, exploatate la subiecte combinate: aria triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele — S = (a · b · sin C)/2 — funcționează și în triunghiuri oarecare; panta unei drepte este tangenta unghiului făcut cu axa Ox — puntea dintre trigonometrie și geometria analitică.

Verificare finală de bun-simț la orice problemă: sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt strict între 0 și 1 — o „catetă” mai lungă decât ipotenuza sau un sinus supraunitar semnalează imediat eroarea.

Test — 6 întrebări ca la examen