Mulțimi de numere

Se studiază structura și proprietățile principalelor mulțimi numerice: N, Z, Q, R și relațiile dintre ele.

Lanțul mulțimilor numerice: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Mulțimile numerice s-au construit istoric pentru că fiecare mulțime nu poate rezolva anumite probleme:

• N = {0, 1, 2, 3, ...} — numerele naturale; aici scăderea nu se poate face mereu (3 − 5 nu are sens în N);
• Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} — numerele întregi; rezolvă scăderea, dar nu împărțirea (1 : 3 nu e întreg);
• Q — numerele raționale, adică fracțiile a/b cu a, b ∈ Z, b ≠ 0; rezolvă împărțirea, dar nu extragerea oricărei rădăcini (√2 nu e rațional);
• R — numerele reale, care „umplu” complet dreapta: raționale plus iraționale.

Incluziunile sunt stricte: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, fiecare mulțime conținând elemente noi față de precedenta. La subiecte se cere frecvent să stabilești cea mai mică mulțime din care face parte un număr: −4 ∈ Z (dar nu ∈ N), 2/3 ∈ Q (dar nu ∈ Z), √9 = 3 ∈ N — capcană clasică, pentru că radicalul „arată” irațional, dar valoarea lui e naturală.

Mulțimea numerelor iraționale se notează R \ Q și nu are simbol propriu de tip literă; ea conține numere ca √2, √3, π, e. Atenție: R \ Q nu este închisă la operații — suma a două iraționale poate fi rațională: √2 + (−√2) = 0.

Numerele raționale și scrierea zecimală

Un număr este rațional dacă și numai dacă se poate scrie ca fracție a/b cu a, b întregi și b ≠ 0. Criteriul echivalent prin scriere zecimală este esențial la examen:

• numerele raționale au scriere zecimală finită (0,75 = 3/4) sau periodică (0,(3) = 1/3; 0,1(6) = 1/6);
• numerele iraționale au scriere zecimală infinită și neperiodică (√2 = 1,41421356..., fără niciun tipar care se repetă).

Transformarea fracțiilor periodice în fracții ordinare se cere direct:

• perioadă simplă: 0,(ab) = ab/99 — de exemplu 0,(45) = 45/99 = 5/11;
• perioadă mixtă: 0,a(bc) = (abc − a)/990 — la numărător scazi partea neperiodică, la numitor pui câte un 9 pentru fiecare cifră din perioadă și câte un 0 pentru fiecare cifră neperiodică de după virgulă.

Demonstrația clasică de iraționalitate — √2 ∉ Q — folosește reducerea la absurd: presupui √2 = a/b fracție ireductibilă, ridici la pătrat și obții că a și b sunt amândouă pare, contradicție cu ireductibilitatea. Modelul acestei demonstrații trebuie cunoscut, pentru că se cere adaptat la √3, √5 sau alte numere.

Între orice două numere raționale există o infinitate de raționale (Q este densă în R), dar Q tot nu acoperă dreapta — golurile sunt exact numerele iraționale.

Numerele reale, dreapta reală și modulul

Mulțimea R este în corespondență bijectivă cu punctele unei drepte: fiecărui număr real îi corespunde exact un punct și reciproc. Aceasta este dreapta reală (axa numerelor), cu originea O în 0, sens pozitiv spre dreapta și unitate de măsură fixată. Numărul asociat unui punct se numește abscisa punctului.

Modulul (valoarea absolută) unui număr real x este distanța de la punctul de abscisă x la origine:

• |x| = x, dacă x ≥ 0;
• |x| = −x, dacă x < 0.

Scrierea |x| = −x pentru x negativ derutează mulți elevi: −x este aici un număr pozitiv, pentru că x însuși e negativ (dacă x = −3, atunci −x = 3). Modulul nu este niciodată negativ.

Proprietăți cerute la examen: |x| ≥ 0 cu egalitate doar pentru x = 0; |x · y| = |x| · |y|; |x| = |−x|; și inegalitatea triunghiului |x + y| ≤ |x| + |y|.

Ecuațiile și inecuațiile cu modul se citesc ca distanțe: |x − a| = r înseamnă „x se află la distanța r de a”, deci x = a − r sau x = a + r; |x − a| ≤ r înseamnă x ∈ [a − r, a + r]. Interpretarea prin distanță evită greșeala clasică de a „șterge” pur și simplu modulul.

Tot aici: partea întreagă [x] este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu x, iar partea fracționară {x} = x − [x] ∈ [0, 1). Capcană sigură: [−2,3] = −3, nu −2, pentru că −3 ≤ −2,3 < −2.

Intervale de numere reale

Intervalele sunt submulțimile „dintr-o bucată” ale lui R, delimitate de capete. Clasificarea, cu notațiile exacte:

• interval închis [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} — capetele aparțin intervalului;
• interval deschis (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} — capetele nu aparțin;
• intervale semideschise: [a, b) și (a, b];
• intervale nemărginite: [a, +∞), (−∞, b) etc.; R = (−∞, +∞).

Regulă absolută: la −∞ și +∞ paranteza este întotdeauna rotundă, pentru că infinitul nu este număr real și nu poate „aparține” intervalului — scrierea [a, +∞] este greșeală de punctaj.

Cu intervalele se fac operațiile de la mulțimi: reuniune, intersecție, diferență. Metoda sigură este reprezentarea pe axă: desenezi ambele intervale una sub alta și citești porțiunea comună (intersecția) sau porțiunea acoperită de cel puțin unul (reuniunea). Exemplu: [1, 5] ∩ (3, 8) = (3, 5] — observă cum fiecare capăt își păstrează tipul de paranteză din intervalul din care provine.

Greșeala frecventă: la intersecție se compară doar capetele numeric și se copiază parantezele la întâmplare. Corect: un capăt aparține intersecției doar dacă aparține ambelor intervale. Legătura cu modulul: soluțiile inecuațiilor |x − a| < r sau |x − a| > r se scriu obligatoriu ca intervale sau reuniuni de intervale.

Rotunjiri, aproximări și comparare

Lucrul cu numere reale cere adesea aproximări, pentru că numerele iraționale au o infinitate de zecimale.

• Aproximarea prin lipsă la o anumită zecimală: se taie zecimalele următoare (√2 ≈ 1,41 prin lipsă la sutimi);
• aproximarea prin adaos: se taie și se adaugă o unitate la ultima cifră păstrată (√2 ≈ 1,42 prin adaos);
• rotunjirea: se alege aproximarea mai apropiată — dacă prima cifră eliminată este 0–4 se rotunjește prin lipsă, dacă este 5–9 prin adaos.

Încadrarea radicalilor între întregi consecutivi este o cerință standard de subiect I: pentru √50, cauți pătratele perfecte vecine — 49 < 50 < 64, deci 7 < √50 < 8, adică partea întreagă a lui √50 este 7.

Compararea numerelor reale fără calculator:

• radicali: √a < √b dacă și numai dacă 0 ≤ a < b; pentru expresii ca 3√2 și 2√3, introduci factorii sub radical: 3√2 = √18 și 2√3 = √12, deci 3√2 > 2√3;
• fracții: se aduc la același numitor sau se compară în cruce (pentru numere pozitive, a/b < c/d dacă și numai dacă ad < bc);
• numere negative: inegalitatea se inversează față de intuiția de la pozitive — −5 < −2, deși 5 > 2.

Capcana de punctaj la comparare: ridicarea la pătrat păstrează inegalitatea doar pentru numere nenegative; dacă termenii pot fi negativi, metoda trebuie justificată separat.

Test — 6 întrebări ca la examen