Elevii operează cu expresii algebrice, radicali și puteri cu exponent rațional.
Pentru a ∈ R și n natural nenul, puterea aⁿ = a · a · ... · a (n factori). Convențiile care se uită cel mai des: a⁰ = 1 pentru orice a ≠ 0, iar a⁻ⁿ = 1/aⁿ pentru a ≠ 0 — exponentul negativ NU face numărul negativ, ci îl inversează: 2⁻³ = 1/8, nu −8.
Regulile de calcul, valabile ori de câte ori expresiile au sens:
Confuzia clasică de punctaj: aᵐ · aⁿ ≠ aᵐ·ⁿ. La înmulțire exponenții se adună; se înmulțesc doar la „putere la putere”: 2³ · 2² = 2⁵ = 32, dar (2³)² = 2⁶ = 64.
Altă capcană: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. Puterea distribuie peste înmulțire, nu peste adunare — (2 + 3)² = 25, pe când 2² + 3² = 13. Pentru sume există formulele de calcul prescurtat.
Semnul puterilor cu bază negativă: (−a)ⁿ este pozitiv pentru n par și negativ pentru n impar. Atenție la scriere: (−2)⁴ = 16, dar −2⁴ = −16 — fără paranteze, minusul rămâne în fața rezultatului.
Radicalul de ordin 2: pentru a ≥ 0, √a este numărul nenegativ al cărui pătrat este a. Definiția are două condiții și ambele contează: numărul de sub radical trebuie să fie ≥ 0 (în R nu există √(−4)), iar rezultatul este prin definiție ≥ 0.
De aici vine identitatea-cheie, punct sigur de examen: √(x²) = |x|, nu x. Pentru x = −5: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. Cine scrie √(x²) = x pierde exact cazul x < 0.
Operații (pentru a, b ≥ 0):
Scoaterea factorilor de sub radical pregătește adunările: √72 = √(36 · 2) = 6√2 — cauți cel mai mare pătrat perfect divizor.
Radicalul de ordin 3 există pentru orice număr real, inclusiv negative: ∛(−8) = −2. Diferența dintre ordinul par (cere numere nenegative) și ordinul impar (acceptă orice real) este o grilă frecventă.
Formula radicalilor compuși, utilă la expresii ca √(7 + 4√3): se caută scrierea ca (a + b)² sub radical — 7 + 4√3 = (2 + √3)², deci radicalul este 2 + √3.
A raționaliza un numitor înseamnă a rescrie fracția astfel încât numitorul să nu mai conțină radicali, amplificând cu o expresie potrivită numită conjugata numitorului.
Cazul 1 — numitor cu un singur radical: amplifici cu acel radical.
Cazul 2 — numitor de forma a + √b sau √a + √b: amplifici cu conjugata, adică aceeași expresie cu semnul din mijloc schimbat, și folosești formula (x − y)(x + y) = x² − y²:
Greșelile care costă puncte:
La ce folosește: expresiile raționalizate se compară și se adună mult mai ușor, iar la subiectele de tip „arătați că numărul E este natural”, raționalizarea fiecărei fracții este de regulă primul pas al rezolvării.
Puterile și radicalii sunt același concept scris diferit. Pentru a > 0 și m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2, definim:
a^(m/n) = radical de ordin n din aᵐ.
Cazuri de bază: a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, iar 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. La calcul este aproape întotdeauna mai simplu să extragi întâi radicalul și abia apoi să ridici la putere — numerele rămân mici.
Toate proprietățile puterilor cu exponent întreg se păstrează pentru exponenți raționali: produsul puterilor cu aceeași bază adună exponenții, puterea puterii îi înmulțește și așa mai departe. Tocmai de aceea notația este utilă: calculele cu radicali de ordine diferite devin calcule cu fracții la exponent.
Exemplu tipic de subiect: √2 · ∛2 = 2^(1/2) · 2^(1/3) = 2^(1/2 + 1/3) = 2^(5/6) — fără notația cu exponenți raționali, produsul radicalilor de ordin 2 și 3 este greu de restrâns.
Condiția a > 0 nu este un moft: pentru baze negative exponentul rațional creează contradicții (același număr ar avea două valori diferite după cum scrii fracția exponent), deci la acest nivel puterile cu exponent rațional se definesc doar pentru baze pozitive.
Capcana de calcul: a^(m/n) nu înseamnă (a^m)/n și nici a^m/a^n. Fracția m/n stă întreagă la exponent — parantezele din scrierea a^(m/n) sunt obligatorii pe hârtie când exponentul e compus.
Logaritmul răspunde la întrebarea inversă puterii: la ce exponent trebuie ridicată baza a ca să obții numărul b?
log_a(b) = c dacă și numai dacă aᶜ = b, cu condițiile de existență: a > 0, a ≠ 1 și b > 0.
Citirea corectă prin definiție rezolvă majoritatea exercițiilor introductive: log₂ 8 = 3 pentru că 2³ = 8; log₃ (1/9) = −2 pentru că 3⁻² = 1/9; log₅ √5 = 1/2 pentru că 5^(1/2) = √5.
Valori care se știu pe de rost: log_a 1 = 0 (orice bază la puterea 0 dă 1) și log_a a = 1.
Condițiile de existență sunt punct de punctaj în sine: nu există logaritm din numere negative sau din 0 (nicio putere a unei baze pozitive nu dă rezultat ≤ 0), baza nu poate fi 1 (1 la orice putere rămâne 1) și nici negativă. La orice ecuație cu logaritmi, primul pas obligatoriu este scrierea condițiilor de existență — soluțiile care le încalcă se elimină la final.
Proprietăți de calcul (pentru x, y > 0):
Confuzia care pierde cele mai multe puncte: log_a(x + y) NU este log_a x + log_a y. Logaritmul transformă produsele în sume — pentru sume sub logaritm nu există nicio formulă de desfacere.
Formulele de calcul prescurtat sunt instrumentul de bază al întregului liceu — trebuie recunoscute în ambele sensuri (desfășurare și restrângere):
Greșeala-simbol a algebrei de liceu: (a + b)² = a² + b². Termenul dublu produs 2ab nu este opțional — (3 + 4)² = 49, pe când 3² + 4² = 25.
Metodele de descompunere în factori, în ordinea în care se încearcă:
1. factorul comun: 6x² + 9x = 3x(2x + 3) — întotdeauna primul pas; 2. formulele de mai sus citite invers: x² − 16 = (x − 4)(x + 4); 3. gruparea termenilor: ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
Simplificarea fracțiilor algebrice se face DOAR după descompunerea în factori a numărătorului și numitorului — se simplifică factori, niciodată termeni dintr-o sumă. Din (x² − 9)/(x + 3) nu ai voie să tai x² cu x; corect: (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3, valabil pentru x ≠ −3.
Condițiile de existență ale unei fracții algebrice (numitor ≠ 0) se scriu înainte de orice simplificare — omiterea lor costă puncte chiar dacă restul calculului e corect.