Se studiază principalele tipuri de funcții elementare, proprietățile și graficele lor.
Funcția de gradul I (afină) este f : R → R, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0. Graficul ei este o dreaptă: a este panta (coeficientul unghiular), b este ordonata la origine — punctul în care dreapta taie axa Oy este (0, b).
Monotonia se citește direct din semnul pantei — regulă de bază la orice subiect:
Cazuri particulare cu denumiri proprii: pentru b = 0 obținem funcția liniară f(x) = ax, al cărei grafic trece prin origine; pentru a = 0 rămâne funcția constantă f(x) = b, cu graficul o dreaptă orizontală — atenție, funcția constantă NU este de gradul I, pentru că gradul I cere a ≠ 0.
Semnul funcției: f se anulează în x₀ = −b/a, iar tabelul de semn se reține prin regula „semn contrar lui a înainte de rădăcină, semnul lui a după”. Acest tabel este fundamentul rezolvării inecuațiilor de gradul I.
Pentru trasarea graficului ajung două puncte (de obicei intersecțiile cu axele), pentru că o dreaptă e determinată de două puncte distincte. La cerința inversă — „determinați funcția al cărei grafic trece prin punctele A și B” — se scrie sistemul f(x_A) = y_A, f(x_B) = y_B și se află a și b.
Fiind strict monotonă pe R, funcția de gradul I este bijectivă, deci inversabilă — legătura cu capitolul anterior.
Funcția de gradul al II-lea este f : R → R, f(x) = ax² + bx + c, cu a ≠ 0. Graficul este o parabolă, iar orientarea o dă semnul lui a:
Vârful parabolei este punctul V(−b/2a, −Δ/4a), unde Δ = b² − 4ac este discriminantul. Vârful dă direct valoarea extremă: minimul (sau maximul) funcției este −Δ/4a și se atinge pentru x = −b/2a. Greșeala frecventă este inversarea coordonatelor vârfului sau uitarea minusului din −b/2a.
Parabola este simetrică față de axa de simetrie x = −b/2a — dreaptă verticală prin vârf. Simetria e utilă practic: două puncte cu aceeași ordonată au abscisele simetrice față de −b/2a.
Forma canonică f(x) = a(x + b/2a)² + (−Δ/4a) rescrie funcția în jurul vârfului și demonstrează dintr-o privire de ce extremul este −Δ/4a: pătratul este mereu ≥ 0.
Intersecția cu axa Ox depinde de semnul lui Δ:
Monotonia se descrie pe două intervale despărțite de abscisa vârfului: pentru a > 0, f descrește pe (−∞, −b/2a] și crește pe [−b/2a, +∞) — a spune că „f este crescătoare” fără precizarea intervalului este răspuns incomplet la BAC.
Funcția radical: f : [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = √x. Domeniul restrâns este esența ei — radicalul de ordin par cere argument nenegativ, deci graficul există doar în dreapta originii: o jumătate de parabolă „culcată”, care pornește din O(0, 0) și urcă din ce în ce mai lent.
Proprietăți: strict crescătoare pe [0, +∞), bijectivă de la [0, +∞) la [0, +∞), fiind exact inversa funcției g(x) = x² restrânse la [0, +∞) — graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare. Din monotonie rezultă regula de comparare: √a < √b ⇔ 0 ≤ a < b.
Funcția modul: f : R → [0, +∞), f(x) = |x|, definită pe ramuri:
Graficul are forma literei V, cu vârful în origine: bisectoarea a doua pe partea negativă, prima bisectoare pe partea pozitivă. Funcția modul descrește pe (−∞, 0] și crește pe [0, +∞), are minimul 0 în x = 0 și este pară — graficul e simetric față de Oy.
Lucrul corect cu modulul înseamnă explicitarea pe ramuri: pentru f(x) = |x − 2|, ramurile se despart în x = 2 (unde expresia din modul își schimbă semnul), nu în 0. Graficul lui |x − 2| este V-ul translatat cu 2 spre dreapta, cu vârful în (2, 0).
Capcana comună ambelor funcții: nici radicalul, nici modulul nu iau valori negative, deci ecuațiile √(ceva) = −3 sau |ceva| = −3 nu au soluții — observație care economisește calcule întregi la grile.
O funcție f este crescătoare pe un interval I dacă pentru orice x₁ < x₂ din I avem f(x₁) ≤ f(x₂), și strict crescătoare dacă inegalitatea imaginilor este strictă. Analog pentru descrescătoare. Intuitiv: o funcție crescătoare păstrează ordinea argumentelor, una descrescătoare o inversează.
Instrumentul de studiu în clasa a IX-a (înainte de derivate) este raportul de variație:
R = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁), pentru x₁ ≠ x₂ din interval.
Dacă R > 0 pentru orice pereche de puncte, funcția e strict crescătoare pe interval; dacă R < 0, strict descrescătoare. Avantajul raportului: nu trebuie să ghicești ordinea imaginilor — semnul iese din calcul.
Monotoniile funcțiilor studiate, de reținut ca tablou:
Greșeala conceptuală frecventă: unirea intervalelor de monotonie. Funcția 1/x (întâlnită la exerciții) descrește pe (−∞, 0) și pe (0, +∞) separat, dar NU descrește pe reuniunea lor: −1 < 1, dar f(−1) = −1 < 1 = f(1). Monotonia se enunță pe intervale, nu pe reuniuni de intervale.
Aplicația de aur: funcțiile strict monotone sunt injective, iar la comparări de tipul „care e mai mare: f(√2) sau f(1,5)?” monotonia răspunde fără niciun calcul al valorilor.
Fie f : D → R cu domeniul simetric față de origine (adică x ∈ D implică −x ∈ D) — condiție preliminară fără de care discuția nu are sens.
Exemple standard: x², |x|, x⁴ și funcția constantă sunt pare; x, x³, 1/x sunt impare. Reguli mnemotehnice oneste: puterile pare dau funcții pare, puterile impare dau funcții impare — de aici vin și denumirile.
Metoda de verificare este mereu aceeași și se punctează ca atare: calculezi f(−x), apoi compari cu f(x) și cu −f(x). Pentru f(x) = x³ − 4x: f(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −f(x), deci impară.
Două capcane de punctaj:
Detaliu de finețe cerut la grile: singura funcție simultan pară și impară pe R este funcția identic nulă f(x) = 0 — din f(x) = f(−x) = −f(x) rezultă f(x) = 0 peste tot.
Utilitatea practică: paritatea înjumătățește munca — studiezi funcția pe [0, +∞) și oglindești graficul.
Determinarea punctelor de intersecție cu axele este cerință aproape garantată la subiectele de reprezentare grafică, iar procedura este mecanică:
Intersecția cu axa Oy: se calculează f(0). Punctul este (0, f(0)) și există cel mult unul — dacă 0 nu aparține domeniului (de exemplu la 1/x), graficul nu taie Oy deloc. Greșeala de neatenție tipică: rezolvarea ecuației f(x) = 0 la intersecția cu Oy — exact pe dos.
Intersecția cu axa Ox: se rezolvă ecuația f(x) = 0; fiecare soluție x₀ din domeniu dă punctul (x₀, 0). Pot exista mai multe puncte sau niciunul.
Rezultatele pentru funcțiile capitolului:
Scrierea corectă a răspunsului: intersecțiile sunt puncte, deci se dau perechi de coordonate — răspunsul „graficul taie Ox în 3” este incomplet; corect este „în punctul (3, 0)”. La BAC formularea apare și invers: „arătați că punctul A aparține graficului” — echivalent cu verificarea f(x_A) = y_A.
Observație utilă la verificare: dacă ai calculat că parabola cu a > 0 are vârful deasupra axei Ox, atunci Δ < 0 și ecuația f(x) = 0 nu poate avea soluții — coerența dintre poziția vârfului și numărul intersecțiilor e un test rapid al calculelor.