Elevii rezolvă ecuații și inecuații de diverse tipuri în mulțimea numerelor reale.
Ecuația de gradul I are forma ax + b = 0 cu a ≠ 0 și soluția unică x = −b/a. Rezolvarea folosește transformări echivalente: adunarea aceluiași număr în ambii membri și înmulțirea ambilor membri cu un număr nenul.
Discuția completă a ecuației ax + b = 0, cerută la subiectele cu parametru:
Această discuție în trei cazuri este scheletul oricărei probleme de tipul „discutați ecuația (m − 2)x = m + 1 după valorile parametrului m”: cazul care anulează coeficientul lui x se tratează separat, iar împărțirea la m − 2 fără discuție este pierderea clasică de punctaj.
Ecuațiile cu necunoscuta la numitor cer un pas suplimentar obligatoriu: condițiile de existență (numitorii ≠ 0) se scriu ÎNAINTE de eliminarea numitorilor, iar soluțiile găsite se confruntă cu ele la final. Ecuația (x + 1)/(x − 2) = 3/(x − 2) conduce formal la x + 1 = 3, deci x = 2 — dar x = 2 anulează numitorul, deci ecuația nu are soluții. Fără condiții, răspunsul greșit x = 2 pare perfect legitim.
Ecuația de gradul al II-lea ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) se rezolvă prin discriminant: Δ = b² − 4ac.
Greșeli de formulă care apar constant: uitarea lui 2a de la numitor (se împarte doar la 2), uitarea minusului din −b, calculul lui Δ ca b² + 4ac. Merită verificat rapid prin înlocuirea soluției în ecuație.
Relațiile lui Viète leagă soluțiile de coeficienți fără a rezolva ecuația:
S = x₁ + x₂ = −b/a și P = x₁ · x₂ = c/a.
Cu ele se calculează expresii simetrice: x₁² + x₂² = S² − 2P, 1/x₁ + 1/x₂ = S/P. Tot cu Viète se construiește ecuația cu soluții date: x² − Sx + P = 0 — atenție la minusul din fața lui S.
Cazuri particulare care se rezolvă mai repede fără discriminant: ax² + bx = 0 se factorizează x(ax + b) = 0, cu soluțiile 0 și −b/a; ax² + c = 0 se rezolvă izolând x². Aplicarea automată a formulei generale la acestea nu e greșită, dar consumă timp.
Legătura cu factorizarea: dacă Δ ≥ 0, atunci ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) — descompunerea trinomului, folosită la simplificarea fracțiilor și la semnul funcției. Verificarea finală prin Viète (suma și produsul soluțiilor) prinde majoritatea greșelilor de calcul.
O inecuație de gradul I se reduce la forma ax + b < 0 (sau >, ≤, ≥) și se rezolvă prin aceleași transformări ca ecuația, cu O SINGURĂ regulă suplimentară — cea mai încălcată regulă din algebra elementară:
la înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
Din −2x < 6 rezultă x > −3 (împărțire la −2, semnul se întoarce), NU x < −3. Regula se înțelege pe un exemplu numeric: 2 < 3, dar înmulțind cu −1 obținem −2 > −3.
Soluția unei inecuații de gradul I este întotdeauna un interval nemărginit, iar răspunsul se scrie ca interval: x > −3 înseamnă S = (−3, +∞). Tipul parantezei urmează tipul inegalității: strictă → paranteză rotundă, nestrictă → pătrată la capătul finit.
Alternativa sistematică, obligatorie la inecuațiile mai complexe: tabelul de semn al funcției f(x) = ax + b. Funcția se anulează în x₀ = −b/a; înainte de rădăcină are semn contrar lui a, după rădăcină are semnul lui a. Din tabel se citește direct mulțimea unde f(x) < 0 sau f(x) > 0.
Inecuațiile de tip produs sau cât — (x − 1)(x + 2) > 0 sau (x − 1)/(x + 2) ≤ 0 — se rezolvă exclusiv cu tabel de semn pe factori. Capcana la cât: numitorul nu se elimină prin înmulțire (nu îi cunoști semnul!), iar valorile care îl anulează se exclud din soluție chiar și la inegalități nestricte — la (x − 1)/(x + 2) ≤ 0, soluția este (−2, 1], cu −2 exclus obligatoriu.
Rezolvarea inecuației ax² + bx + c > 0 (sau <, ≤, ≥) se bazează pe teorema semnului trinomului, rezultatul central al capitolului:
Algoritmul complet: (1) calculezi Δ și rădăcinile; (2) întocmești tabelul de semn; (3) citești intervalele care satisfac inegalitatea, cu grijă la includerea sau excluderea capetelor după cum inegalitatea e nestrictă sau strictă.
Exemplu: x² − 5x + 6 ≤ 0. Rădăcinile sunt 2 și 3, a = 1 > 0, deci trinomul e negativ între rădăcini: S = [2, 3] — capete incluse pentru că inegalitatea permite egalitate.
Vizualizarea prin parabolă înlocuiește memorarea: pentru a > 0 parabola „ține brațele sus”, deci e negativă doar în „groapa” dintre rădăcini; pentru a < 0, pozitivă doar în „cocoașa” dintre rădăcini.
Greșelile care pică sistematic candidații: împărțirea inecuației la expresii care conțin necunoscuta (pierzi cazuri sau inversezi semnul fără să știi), tratarea cazului Δ < 0 ca „fără soluții” — dacă Δ < 0 și a > 0, inecuația ax² + bx + c > 0 are soluția R, nu ∅, pentru că trinomul e pozitiv peste tot; și scrierea soluției „între rădăcini” fără verificarea semnului lui a.
Aplicație frecventă cu parametru: „aflați m pentru care x² + mx + 4 > 0 pentru orice x real” — se cere exact Δ < 0 (și a > 0, deja adevărat), deci m² − 16 < 0, adică m ∈ (−4, 4).
Cheia lucrului cu modulul este citirea lui ca distanță pe axa reală: |x − a| este distanța dintre x și a. De aici, pentru r > 0:
Confuzia dintre ultimele două cazuri este cea mai frecventă eroare: |x| < 3 dă intervalul (−3, 3), pe când |x| > 3 dă (−∞, −3) ∪ (3, +∞). Reper mental: „mai mic — între; mai mare — în afară”.
Înainte de orice desfacere, verifică membru drept: modulul fiind ≥ 0, ecuația |E| = −5 nu are soluții, inecuația |E| ≥ −2 are soluția tot domeniul (orice modul e ≥ 0 > −2), iar |E| < −1 nu are nicio soluție. Aceste cazuri „degenerate” apar intenționat la grile și se rezolvă din priviri.
Ecuațiile cu module și expresii de ambele părți, de tip |x − 1| = 2x + 3, cer fie discuție pe ramuri (explicitarea modulului pe intervale), fie condiția suplimentară 2x + 3 ≥ 0 înainte de ridicarea celor două cazuri — soluțiile care fac membrul drept negativ se elimină.
Ecuațiile cu două module, |x − 1| + |x + 2| = 5, se rezolvă prin metoda intervalelor: axa se împarte în intervale prin punctele care anulează fiecare modul (aici −2 și 1), pe fiecare interval modulele se explicitează cu semnul corespunzător, iar soluțiile obținute se verifică apartenența la intervalul curent — pasul uitat cel mai des.
Sistemul liniar de două ecuații cu două necunoscute se rezolvă prin două metode standard:
Geometric, fiecare ecuație este o dreaptă, iar soluția sistemului este intersecția: drepte concurente → soluție unică; drepte paralele → fără soluții (sistem incompatibil); drepte confundate → infinitate de soluții. Interpretarea geometrică transformă discuția algebrică a sistemelor cu parametru în una vizuală.
Sistemele simetrice — în care apar suma S = x + y și produsul P = xy — se rezolvă prin substituția S, P: după aflarea lor, x și y sunt soluțiile ecuației t² − St + P = 0 (relațiile lui Viète citite invers). Condiția de existență a soluțiilor reale: S² − 4P ≥ 0.
Sistemele formate dintr-o ecuație de gradul I și una de gradul al II-lea se rezolvă prin substituție din ecuația liniară în cea pătratică.
Sistemul de inecuații cu o necunoscută se rezolvă complet diferit — și aici apare greșeala principală: se rezolvă fiecare inecuație separat, iar soluția sistemului este INTERSECȚIA mulțimilor de soluții, nu reuniunea lor. Sistemul cere ca toate condițiile să fie îndeplinite simultan.
Exemplu: din x − 1 > 0 și 4 − x ≥ 0 rezultă x ∈ (1, +∞) ∩ (−∞, 4] = (1, 4]. Cine reunește obține (−∞, +∞) — un rezultat absurd care ar trebui să declanșeze imediat alarma: reuniunea răspunde la „cel puțin una”, intersecția la „amândouă”, iar sistemul înseamnă „amândouă”.