Se introduc noțiunea de funcție, moduri de reprezentare și proprietăți generale ale funcțiilor.
O funcție f : A → B este o corespondență care asociază fiecărui element x din A exact un element f(x) din B. Definiția are trei componente, toate obligatorii:
Două funcții sunt egale doar dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege — f : R → R, f(x) = x² și g : [0, ∞) → R, g(x) = x² sunt funcții diferite, deși formula e identică. Acest detaliu pare pedant, dar decide injectivitatea și inversabilitatea: prima nu e injectivă, a doua da.
Cele două condiții din definiție se verifică separat:
O corespondență care încalcă oricare dintre ele NU este funcție. Pe grafic, unicitatea imaginii se citește cu testul dreptei verticale: orice paralelă la axa Oy dusă prin puncte ale domeniului taie graficul în exact un punct. Un cerc, de exemplu, nu poate fi graficul unei funcții — verticala îl taie în două puncte.
Imaginea funcției, notată Im f sau f(A), este mulțimea valorilor efectiv atinse: Im f = {f(x) | x ∈ A}. Imaginea este inclusă în codomeniu, dar nu coincide neapărat cu el — distincția aceasta pregătește noțiunea de surjectivitate.
Când o funcție este dată doar prin formulă, se cere adesea domeniul maxim de definiție: cea mai mare submulțime a lui R pe care formula are sens. Regulile de aur:
Când se combină mai multe condiții, domeniul este intersecția lor — nu reuniunea. Exemplu: f(x) = √(x − 1)/(x − 3) cere x − 1 ≥ 0 ȘI x − 3 ≠ 0, deci domeniul este [1, 3) ∪ (3, +∞).
Graficul funcției f : A → B este mulțimea de perechi ordonate G_f = {(x, f(x)) | x ∈ A} — o submulțime a produsului cartezian A × B, reprezentată în planul cartezian.
Verificarea apartenenței unui punct la grafic este cerință standard: punctul M(a, b) aparține graficului dacă și numai dacă f(a) = b — se înlocuiește abscisa în formulă și se compară rezultatul cu ordonata. Greșeala frecventă este înlocuirea ordonatei în locul abscisei.
Intersecțiile cu axele se calculează mereu la fel:
O funcție f : A → B este injectivă dacă elemente diferite din domeniu au imagini diferite: pentru orice x₁, x₂ ∈ A cu x₁ ≠ x₂ rezultă f(x₁) ≠ f(x₂).
În practică se folosește forma echivalentă, mai comodă la demonstrații: dacă f(x₁) = f(x₂), atunci x₁ = x₂. Demonstrația-tip: presupui f(x₁) = f(x₂), faci calculele și arăți că obligatoriu x₁ = x₂.
Pentru a demonstra că o funcție NU este injectivă ajunge un contraexemplu: două valori distincte cu aceeași imagine. Clasic: f : R → R, f(x) = x² nu e injectivă pentru că f(−2) = f(2) = 4.
Instrumente de verificare:
Nuanța care se pierde cel mai des: injectivitatea depinde de domeniu. Funcția x² nu e injectivă pe R, dar devine injectivă pe [0, +∞), pentru că restrângerea domeniului elimină perechile simetrice. De aceea enunțurile precizează mereu domeniul, iar răspunsul „x² nu e injectivă” fără menționarea domeniului este incomplet.
O funcție f : A → B este surjectivă dacă orice element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element din domeniu: pentru orice y ∈ B există x ∈ A cu f(x) = y. Echivalent: Im f = B — funcția își „acoperă” tot codomeniul.
Verificarea practică: iei un y arbitrar din B și rezolvi ecuația f(x) = y în necunoscuta x; dacă găsești mereu soluție în domeniul A, funcția e surjectivă. Pentru a nega surjectivitatea ajunge un singur y fără preimagine: f : R → R, f(x) = x² nu e surjectivă pentru că y = −1 nu este pătratul niciunui număr real.
Surjectivitatea, la fel ca injectivitatea, depinde de codomeniu: aceeași lege x² devine surjectivă dacă restrângem codomeniul la [0, +∞). Compară: injectivitatea se repară din domeniu, surjectivitatea din codomeniu — pereche de idei care apare des la grile.
O funcție este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă: fiecare element din B este imaginea a exact unui element din A (corespondență „unu la unu” completă). Ambele proprietăți trebuie demonstrate — demonstrarea uneia singure este pierdere clasică de punctaj la „arătați că f este bijectivă”.
Pentru mulțimi finite: între A și B poate exista o bijecție doar dacă au același număr de elemente; dacă A și B au fiecare n elemente, o funcție f : A → B injectivă este automat și surjectivă (și reciproc) — scurtătură valabilă numai în cazul finit cu cardinale egale, nu și pentru funcții pe R.
Fiind date f : A → B și g : B → C, compusa g ∘ f : A → C este definită prin (g ∘ f)(x) = g(f(x)) — se aplică întâi f, apoi g, adică funcțiile se aplică de la dreapta spre stânga, în ordinea inversă citirii.
Condiția de existență: compunerea g ∘ f are sens când imaginea lui f este inclusă în domeniul lui g — rezultatele lui f trebuie să fie „intrări” valide pentru g.
Calculul practic: în formula lui g, fiecare apariție a variabilei se înlocuiește cu întreaga expresie f(x). Pentru f(x) = 2x + 1 și g(x) = x²:
Exemplul de mai sus arată și proprietatea-cheie: compunerea nu este comutativă — g ∘ f ≠ f ∘ g în general. Presupunerea tacită că ordinea nu contează este cea mai frecventă greșeală la acest subiect.
Ce proprietăți are compunerea: este asociativă — (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f) — iar funcția identică 1_A(x) = x este element neutru: f ∘ 1_A = f și 1_B ∘ f = f.
Compunerea conservă proprietățile bune: compusa a două funcții injective este injectivă, compusa a două surjective este surjectivă, deci compusa a două bijective este bijectivă. La ecuațiile funcționale de tip „aflați f știind că (f ∘ g)(x) = ...”, metoda standard este substituția: notezi g(x) = t, exprimi x în funcție de t și rescrii egalitatea.
O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa ei, notată f⁻¹ : B → A, întoarce corespondența: f⁻¹(y) = x dacă și numai dacă f(x) = y.
De ce este necesară bijectivitatea: fără surjectivitate, unele elemente din B nu ar avea de unde să se întoarcă; fără injectivitate, un y ar avea două origini posibile și „inversa” nu ar mai fi funcție (imaginea nu ar fi unică).
Legătura prin compunere — definiția operațională a inversei: f⁻¹ ∘ f = 1_A și f ∘ f⁻¹ = 1_B. La verificarea că două funcții sunt inverse una alteia, se calculează ambele compuneri și se arată că dau funcția identică.
Algoritmul de aflare a inversei: scrii y = f(x), rezolvi ecuația în necunoscuta x (exprimi x în funcție de y), apoi schimbi rolurile literelor. Pentru f : R → R, f(x) = 3x − 6: din y = 3x − 6 rezultă x = (y + 6)/3, deci f⁻¹(x) = (x + 6)/3.
Capcana de notație, subliniată la orice examen: f⁻¹(x) NU înseamnă 1/f(x). Prima este funcția inversă (întoarce corespondența), a doua este inversul algebric al valorii. Pentru f(x) = 3x − 6: f⁻¹(x) = (x + 6)/3, pe când 1/f(x) = 1/(3x − 6) — funcții complet diferite.
Interpretarea geometrică: graficele lui f și f⁻¹ sunt simetrice față de prima bisectoare (dreapta y = x). Dacă punctul (a, b) aparține graficului lui f, atunci (b, a) aparține graficului lui f⁻¹ — proprietate care apare la subiectele cu reprezentări grafice.