Oscilații mecanice

Studiul mișcărilor periodice, al pendulului și al oscilatorului elastic, energie și rezonanță.

Mișcarea oscilatorie. Mărimi caracteristice

O mișcare oscilatorie este o mișcare periodică a unui corp de o parte și de alta a unei poziții de echilibru. Ca să existe oscilație ai nevoie de două lucruri: o forță de revenire care împinge mereu corpul înapoi spre echilibru și inerția, care îl face să treacă dincolo de echilibru în loc să se oprească acolo.

Mărimile pe care le cere subiectul:

• elongația y – depărtarea corpului față de poziția de echilibru la un moment dat, măsurată în metri; poate fi pozitivă sau negativă;
• amplitudinea A – valoarea maximă a elongației; e o constantă a mișcării, nu se schimbă în timp (la oscilația neamortizată);
• perioada T – durata unei oscilații complete, în secunde;
• frecvența ν = 1/T, măsurată în hertzi (Hz);
• pulsația (frecvența unghiulară) ω = 2π/T = 2πν, în rad/s;
• faza ωt + φ0, unde φ0 este faza inițială, care spune de unde a pornit corpul.

Oscilatorul liniar armonic are legea de mișcare y = A sin(ωt + φ0). Derivând, obții viteza v = Aω cos(ωt + φ0) și accelerația a = −Aω² sin(ωt + φ0), adică a = −ω²y.

Relația a = −ω²y este de fapt definiția fizică a mișcării armonice: accelerația este proporțională cu elongația și mereu orientată spre poziția de echilibru (de aici semnul minus).

Confuzia clasică de la BAC: elevii cred că viteza și accelerația sunt maxime în același punct. Nu. În poziția de echilibru (y = 0) viteza este maximă (v_max = Aω), iar accelerația este nulă. La elongație maximă (y = ±A) viteza este zero, iar accelerația este maximă în modul (a_max = Aω²).

Oscilatorul elastic. Legea mișcării

Oscilatorul elastic (pendulul elastic) este un corp de masă m legat de un resort de constantă elastică k. Forța care îl readuce spre echilibru este forța elastică:

F = −k·y

Semnul minus arată că forța este mereu opusă deplasării. Aplicând principiul al II-lea al mecanicii, m·a = −k·y, deci a = −(k/m)·y. Comparând cu a = −ω²y rezultă imediat:

• ω = √(k/m)
• T = 2π·√(m/k)
• ν = (1/2π)·√(k/m)

De aici scoți cele două idei care aduc puncte:

• perioada oscilatorului elastic crește cu masa și scade dacă resortul e mai rigid (k mare);
• perioada nu depinde de amplitudine — proprietate numită izocronism. Dacă tragi resortul de două ori mai mult, corpul se mișcă mai repede, dar tot atâta timp îi ia să facă o oscilație.

Caz special cerut frecvent: oscilatorul elastic vertical. Acolo greutatea alungește resortul cu Δl = mg/k și mută poziția de echilibru mai jos. Dar în jurul acestei noi poziții forța rezultantă este tot −k·y, deci perioada rămâne exact aceeași, T = 2π√(m/k). Greutatea nu intră în formula perioadei — deci același oscilator elastic are aceeași perioadă pe Pământ și pe Lună.

Gruparea resoartelor apare des la problema 3: la legarea în paralel constantele se adună (k_ech = k1 + k2, sistem mai rigid, perioadă mai mică), iar la legarea în serie se adună inversele (1/k_ech = 1/k1 + 1/k2, sistem mai moale, perioadă mai mare).

Pendulul gravitațional

Pendulul gravitațional ideal este un punct material suspendat de un fir inextensibil, de masă neglijabilă, care oscilează sub acțiunea greutății.

Forța de revenire este componenta tangențială a greutății, G_t = m·g·sin θ. Pentru unghiuri mici (practic sub 5 grade) sin θ ≈ θ, mișcarea devine armonică și se obține:

T = 2π·√(l/g)

Ce trebuie să reții despre această formulă, pentru că exact aici se pierd puncte:

• perioada nu depinde de masa corpului suspendat; două pendule de aceeași lungime, unul cu bilă de plumb și unul cu bilă de plută, au aceeași perioadă;
• perioada nu depinde de amplitudine, dar numai în limita oscilațiilor mici; la unghiuri mari formula nu mai este valabilă;
• perioada depinde de locul unde se află pendulul, prin g. Pe Lună (g de aproximativ 6 ori mai mic) perioada aceluiași pendul crește de √6 ≈ 2,45 ori.

De reținut și dependența de lungime: ca să dublezi perioada trebuie să faci firul de patru ori mai lung, pentru că T este proporțional cu √l, nu cu l. Este cea mai frecventă capcană numerică din subiectele de oscilații.

Contrast util pentru memorare: la pendulul elastic perioada depinde de m și k și nu depinde de g; la pendulul gravitațional perioada depinde de l și g și nu depinde de m.

Energia oscilatorului armonic

În timpul oscilației, energia trece continuu dintr-o formă în alta, dar suma lor rămâne constantă (dacă nu există frecare).

• Energia potențială elastică: Ep = k·y²/2 — maximă la elongație maximă, nulă la trecerea prin poziția de echilibru;
• Energia cinetică: Ec = m·v²/2 — maximă la trecerea prin poziția de echilibru, nulă la elongație maximă;
• Energia totală: E = Ec + Ep = k·A²/2 = m·ω²·A²/2.

Observă forma energiei totale: ea depinde de pătratul amplitudinii. Dacă dublezi amplitudinea, energia oscilatorului devine de patru ori mai mare, nu de două ori. Este o întrebare care apare aproape în fiecare sesiune.

Din conservarea energiei (k·A²/2 = k·y²/2 + m·v²/2) se obține relația foarte utilă la probleme:

v = ω·√(A² − y²)

Cu ea afli viteza în orice punct, fără să treci prin legea de mișcare. Pentru y = 0 dă v_max = ωA, iar pentru y = ±A dă v = 0, exact cum trebuie.

Un detaliu fin, dar cerut: energia cinetică și cea potențială variază cu o frecvență dublă față de frecvența oscilației. Motivul e simplu — într-o singură oscilație completă corpul trece de două ori prin poziția de echilibru, deci Ec atinge maximul de două ori.

Punctul în care Ec = Ep se află la y = ±A/√2, un rezultat pe care merită să îl știi direct.

Oscilații amortizate și forțate. Rezonanța

În realitate, orice oscilator pierde energie prin frecare și prin rezistența mediului. Apar oscilațiile amortizate: amplitudinea scade progresiv, iar energia sistemului se transformă în căldură. Mișcarea nu mai este strict periodică, de aceea se vorbește despre o pseudoperioadă, ușor mai mare decât perioada oscilației libere. Cu cât amortizarea e mai puternică, cu atât oscilația se stinge mai repede; la amortizare foarte mare corpul revine la echilibru fără să mai oscileze deloc (regim aperiodic).

Ca să menții oscilația, trebuie să compensezi energia pierdută, aplicând o forță exterioară periodică. Apar oscilațiile forțate. Regula esențială, și cea mai des greșită: după stabilizare, sistemul oscilează cu frecvența forței exterioare, nu cu frecvența lui proprie. Frecvența proprie determină doar cât de mare va fi amplitudinea.

Rezonanța apare când frecvența forței exterioare devine egală cu frecvența proprie a oscilatorului. Atunci transferul de energie de la forța exterioară către sistem este maxim, iar amplitudinea devine maximă. Cu cât amortizarea e mai mică, cu atât vârful de rezonanță este mai înalt și mai îngust.

Exemple pe care le poți da la subiectul teoretic: leagănul împins exact în ritmul lui, cutia de rezonanță a viorii sau chitarei, paharul care se sparge la un sunet de anumită înălțime, oscilațiile periculoase ale podurilor sub pași cadențați (de aceea o coloană militară rupe pasul pe pod).

Atenție la formulare: la rezonanță nu crește frecvența oscilației, ci amplitudinea ei.

Test — 6 întrebări ca la examen