Oscilații mecanice

Studiul mișcărilor oscilatorii, caracteristicilor lor și al pendulului ca caz particular.

Mărimile caracteristice ale mișcării oscilatorii

O mișcare oscilatorie este o mișcare care se repetă periodic de o parte și de alta a unei poziții de echilibru. Exemple: un corp prins de un resort, un pendul, o coardă de chitară, membrana unui difuzor.

Mărimile care descriu oscilația:

• Elongația y — depărtarea instantanee față de poziția de echilibru; se măsoară în metri și poate fi pozitivă sau negativă.
• Amplitudinea A — elongația maximă, deci valoarea absolută a celei mai mari depărtări. Este întotdeauna pozitivă.
• Perioada T — durata unei oscilații complete, în secunde. O oscilație completă înseamnă dus-întors, nu doar dus.
• Frecvența ν = 1/T — numărul de oscilații pe secundă, în hertzi.
• Pulsația ω = 2π/T = 2π·ν — în rad/s.
• Faza ω·t + φ₀ — mărimea care stabilește în ce punct al oscilației se află corpul la momentul t; φ₀ este faza inițială.

O oscilație se numește armonică atunci când elongația variază sinusoidal în timp:

• y = A·sin(ω·t + φ₀)

Prin derivare succesivă se obțin viteza și accelerația:

• v = A·ω·cos(ω·t + φ₀), cu v_max = A·ω;
• a = −A·ω²·sin(ω·t + φ₀) = −ω²·y, cu a_max = A·ω².

Relația a = −ω²·y este semnătura oscilației armonice și merită înțeleasă, nu memorată: accelerația este proporțională cu elongația și orientată mereu spre poziția de echilibru (de aici semnul minus).

Două capcane de examen legate de aceste formule:

• În poziția de echilibru (y = 0) viteza este maximă, iar accelerația este zero. La elongație maximă (y = ±A) viteza este zero, iar accelerația este maximă. Elevii asociază instinctiv „departe de echilibru” cu „rapid”, ceea ce este exact invers.
• Într-o oscilație completă, corpul parcurge distanța 4A, nu A sau 2A.

Oscilatorul armonic. Pendulul elastic și pendulul gravitațional

Condiția pentru ca o mișcare să fie armonică este ca forța care readuce corpul spre echilibru să fie proporțională cu elongația și de sens opus: F = −k·y. O astfel de forță se numește forță de tip elastic.

Pendulul elastic este un corp de masă m prins de un resort de constantă elastică k. Aplicând principiul al doilea, m·a = −k·y, și comparând cu a = −ω²·y, rezultă ω = √(k/m), deci:

• T = 2π·√(m/k)

Citirea formulei: perioada crește cu masa (un corp greu oscilează mai lent) și scade dacă resortul este mai rigid. Perioada nu depinde de amplitudine — proprietate numită izocronism — și nici de accelerația gravitațională. Un pendul elastic ar funcționa identic pe Lună sau în imponderabilitate, spre deosebire de cel gravitațional.

Pendulul gravitațional este un corp mic suspendat de un fir inextensibil de lungime l. Pentru oscilații mici (unghiuri sub aproximativ 5°), mișcarea este aproximativ armonică, cu:

• T = 2π·√(l/g)

Aici perioada depinde de lungimea firului și de g, dar nu depinde nici de masa corpului, nici de amplitudine. Faptul că masa nu apare în formulă surprinde majoritatea elevilor, dar are o explicație simplă: masa apare atât în forța de greutate (cauza mișcării), cât și în inerție (opoziția la mișcare), iar cele două se simplifică.

De aici două aplicații de examen: același pendul are perioadă mai mare pe Lună (unde g este de circa 6 ori mai mic) și pendulul gravitațional poate fi folosit pentru măsurarea lui g.

Atenția la aproximație contează: formula T = 2π·√(l/g) este valabilă doar pentru oscilații de amplitudine mică. La unghiuri mari, izocronismul se pierde, iar perioada crește ușor cu amplitudinea.

Energia în oscilația armonică

În timpul oscilației, energia se transformă continuu dintr-o formă în alta, dar suma lor rămâne constantă (în absența frecărilor).

Pentru pendulul elastic:

• energia cinetică: E_c = m·v²/2, maximă în poziția de echilibru;
• energia potențială elastică: E_p = k·y²/2, maximă la elongație maximă;
• energia totală: E = k·A²/2 = m·ω²·A²/2 = m·v²_max/2, constantă.

De reținut cele trei momente-cheie ale unei oscilații:

• la y = 0 (echilibru): E_p = 0, toată energia este cinetică;
• la y = ±A (elongație maximă): E_c = 0, toată energia este potențială;
• în rest: energia se împarte între cele două forme, cu suma constantă.

Relația E ∝ A² este cea mai des folosită la itemii calitativi: energia oscilatorului este proporțională cu pătratul amplitudinii. Dacă amplitudinea se dublează, energia devine de patru ori mai mare, nu de două ori. Aceasta este greșeala tipică de proporționalitate la BAC.

Un amănunt de sincronizare care apare în probleme: energia cinetică și cea potențială oscilează cu frecvență dublă față de elongație. Într-o singură perioadă a mișcării, corpul trece de două ori prin poziția de echilibru și de două ori prin elongație maximă, deci fiecare formă de energie atinge maximul de două ori.

Pentru pendulul gravitațional, energia potențială este de tip gravitațional, E_p = m·g·h, unde h este înălțimea față de punctul cel mai de jos al traiectoriei; bilanțul rămâne același, cu E_c maximă în punctul inferior.

Oscilații amortizate

Oscilațiile studiate până acum sunt idealizări. În realitate, orice oscilator pierde energie prin frecare cu aerul și prin frecări interne în material. Rezultatul este o oscilație amortizată: amplitudinea scade progresiv, iar mișcarea se stinge după un timp.

Caracteristicile oscilației amortizate, așa cum se cer la examen:

• amplitudinea scade exponențial în timp, după o lege de forma A(t) = A₀·e^(−β·t), unde β este coeficientul de amortizare;
• energia scade, pentru că este disipată sub formă de căldură; sistemul nu mai este conservativ;
• perioada se modifică foarte puțin față de cea proprie, la amortizări slabe.

Aici se ascunde o confuzie tenace: elevii cred că într-o oscilație amortizată corpul „încetinește”, adică perioada crește vizibil, ca și cum mișcarea ar deveni tot mai lentă. În realitate, la amortizări slabe ritmul oscilațiilor rămâne practic același; ceea ce se micșorează este amplitudinea — corpul face aceleași du-te-vino, dar tot mai mici, până se oprește.

După intensitatea amortizării se disting trei regimuri:

• amortizare slabă (subcritică) — sistemul oscilează, cu amplitudine descrescătoare;
• amortizare critică — sistemul revine la echilibru în timpul cel mai scurt posibil, fără să oscileze;
• amortizare supracritică — revenirea la echilibru este lentă, tot fără oscilații.

Amortizarea critică nu este un defect, ci un obiectiv de proiectare: amortizoarele automobilelor și mecanismele instrumentelor de măsură cu ac indicator sunt reglate aproape de acest regim, tocmai pentru ca sistemul să se stabilizeze rapid, fără oscilații parazite. O mașină cu amortizoare uzate „saltă” pe drum pentru că a alunecat în regim slab amortizat.

Oscilații forțate și rezonanța mecanică

Pentru a menține oscilația în ciuda amortizării, sistemului i se aplică o forță exterioară periodică, de frecvență ν. Se obțin oscilații forțate (întreținute).

Regula fundamentală: după un regim tranzitoriu, sistemul oscilează cu frecvența forței exterioare, nu cu frecvența lui proprie. Frecvența proprie ν₀ rămâne însă decisivă pentru amplitudine.

Rezonanța mecanică apare când frecvența forței exterioare devine egală cu frecvența proprie a sistemului:

• ν = ν₀ → amplitudinea oscilațiilor atinge valoarea maximă, iar transferul de energie de la sursă spre oscilator este cel mai eficient.

Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât vârful de rezonanță este mai înalt și mai ascuțit; într-un sistem puternic amortizat, rezonanța este slabă și lată. De aceea rezonanța devine periculoasă tocmai în structurile cu frecări mici.

Exemple care se cer la examen:

• copilul din leagăn, care trebuie împins în ritmul propriu al leagănului, nu mai des sau mai rar — împinsul „aiurea” nu ridică leagănul;
• paharul de cristal spart de un sunet de frecvență potrivită;
• podurile care intră în oscilații periculoase; din acest motiv soldații rup pasul pe pod, ca să nu excite frecvența proprie a structurii;
• clădirile în timpul cutremurelor, când frecvența seismică se apropie de cea proprie a construcției;
• acordarea aparatelor de radio, unde se caută rezonanța cu frecvența postului dorit.

O greșeală frecventă la itemii cu variante: se afirmă că la rezonanță amplitudinea „devine infinită”. La un oscilator ideal, fără amortizare, matematic ar crește nelimitat, dar în orice sistem real amortizarea limitează amplitudinea la o valoare finită, deși posibil foarte mare — suficient de mare cât să distrugă structura, ceea ce explică pericolul practic al fenomenului.

Test — 6 întrebări ca la examen