Elemente de teoria relativității restrânse

Introducere în principiile relativității restrânse și consecințele lor asupra spațiului, timpului și masei.

De ce a fost nevoie de o teorie nouă. Postulatele lui Einstein

În mecanica clasică, vitezele se adună simplu: dacă mergi cu 60 km/h într-un tren și arunci o minge înainte cu 10 km/h, un observator de pe peron vede mingea cu 70 km/h. Aplicat luminii, raționamentul ar da rezultate diferite pentru un fascicul emis din trenul în mișcare. Experiențele de la sfârșitul secolului XIX au arătat că nu se întâmplă așa: viteza luminii măsurată este aceeași, indiferent de mișcarea sursei sau a observatorului.

În 1905, Einstein a rezolvat contradicția renunțând nu la experiment, ci la ideile despre spațiu și timp. Teoria relativității restrânse se sprijină pe două postulate:

• Principiul relativității: legile fizicii au aceeași formă în toate sistemele de referință inerțiale (adică în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă unele față de altele). Niciun experiment făcut în interiorul unui sistem nu poate stabili dacă acesta este „cu adevărat” în repaus.
• Constanța vitezei luminii: viteza luminii în vid, c = 3·10⁸ m/s, este aceeași în toate sistemele inerțiale, independent de mișcarea sursei sau a observatorului.

Atenție la o limitare pe care mulți elevi o ignoră: teoria restrânsă se aplică doar sistemelor inerțiale. Sistemele accelerate și gravitația fac obiectul relativității generalizate, care nu se studiază la acest nivel.

Mărimea care apare peste tot în formule este factorul relativist:

• γ = 1/√(1 − v²/c²)

El este întotdeauna supraunitar (γ ≥ 1), egal cu 1 pentru v = 0 și tinde la infinit când v se apropie de c. La viteze obișnuite — un avion, o rachetă, chiar și un satelit — raportul v²/c² este atât de mic încât γ ≈ 1 și regăsim mecanica clasică. Relativitatea nu contrazice mecanica lui Newton; o conține ca aproximație pentru viteze mici.

Dilatarea timpului

Prima consecință a postulatelor: timpul nu curge la fel pentru toți observatorii.

Se numește interval de timp propriu Δt₀ durata măsurată de un ceas aflat în repaus față de evenimentele măsurate — adică ceasul care „călătorește” împreună cu fenomenul. Un observator față de care sistemul se mișcă cu viteza v măsoară un interval mai lung:

• Δt = γ·Δt₀ = Δt₀/√(1 − v²/c²)

Cum γ ≥ 1, rezultă întotdeauna Δt ≥ Δt₀: intervalul propriu este cel mai scurt dintre toate. Formulat pe scurt — ceasul în mișcare merge mai încet, privit din sistemul față de care se mișcă.

Este esențial să identifici corect care durată este cea proprie, pentru că aici se pierd cele mai multe puncte. Regula practică: durata proprie este cea măsurată de ceasul care se află în același loc cu ambele evenimente (începutul și sfârșitul). Pentru un astronaut, timpul propriu este cel de pe ceasul lui de mână; pentru observatorul de pe Pământ, durata călătoriei astronautului este dilatată.

Efectul nu este o iluzie de măsurare, ci o proprietate reală a timpului, confirmată experimental:

• muonii produși în atmosfera înaltă au un timp de viață atât de scurt încât, clasic, nu ar trebui să ajungă la sol; totuși ajung, tocmai pentru că timpul lor propriu „curge” mai lent văzut de pe Pământ;
• ceasurile atomice din sateliții GPS trebuie corectate relativist; fără aceste corecții, pozițiile calculate ar acumula erori de kilometri pe zi.

O precizare de fond: efectul este simetric între sisteme inerțiale — fiecare observator vede ceasul celuilalt mergând mai încet. Asimetria din „paradoxul gemenilor” apare doar pentru că geamănul călător accelerează și frânează, deci nu rămâne tot timpul într-un sistem inerțial.

Contracția lungimilor

A doua consecință privește spațiul. Se numește lungime proprie l₀ lungimea unui corp măsurată în sistemul în care corpul este în repaus (o riglă măsurată de cineva care o ține în mână). Un observator față de care corpul se deplasează cu viteza v, de-a lungul direcției de mișcare, măsoară o lungime mai mică:

• l = l₀/γ = l₀·√(1 − v²/c²)

Cum γ ≥ 1, rezultă l ≤ l₀: lungimea proprie este cea mai mare posibilă. Corpul în mișcare apare scurtat pe direcția deplasării.

Două precizări care fac diferența la examen:

• Contracția are loc exclusiv pe direcția mișcării. Dimensiunile transversale (lățimea, înălțimea unei rachete care zboară pe orizontală) rămân neschimbate. O rachetă care se apropie de c devine mai scurtă, dar nu și mai subțire.
• Contracția nu înseamnă că materialul este comprimat sau strivit. Nimic nu se întâmplă cu obiectul în sine; se schimbă rezultatul măsurătorii, pentru că spațiul însuși se măsoară diferit în sisteme aflate în mișcare relativă.

Observă simetria dintre cele două efecte, utilă ca verificare rapidă a formulelor: timpul se dilată (se înmulțește cu γ), lungimea se contractă (se împarte la γ). Dacă în rezolvarea ta a ieșit un timp mai scurt decât cel propriu sau o lungime mai mare decât cea proprie, sigur ai inversat formula.

Cele două efecte sunt fețe ale aceleiași monede. Muonul care ajunge la sol poate fi descris în două feluri, ambele corecte: din sistemul Pământului, timpul lui de viață este dilatat; din sistemul muonului, distanța până la sol este contractată. Rezultatul măsurabil — muonul ajunge — este același în ambele descrieri.

Masa relativistă și impulsul

Dacă spațiul și timpul se schimbă, și mecanica trebuie rescrisă. Se numește masă de repaus m₀ masa corpului măsurată în sistemul în care el este în repaus. Pentru un corp care se mișcă cu viteza v, masa relativistă este:

• m = γ·m₀ = m₀/√(1 − v²/c²)

Masa de repaus este o caracteristică invariantă a corpului: are aceeași valoare pentru toți observatorii. Masa relativistă, dimpotrivă, crește cu viteza și tinde la infinit când v → c.

De aici rezultă explicația pentru limita universală de viteză: pentru a accelera un corp cu masă de repaus nenulă până la viteza luminii ar fi nevoie de energie infinită, pentru că inerția lui crește nelimitat. Niciun corp cu masă de repaus nu poate atinge viteza c; poate doar să se apropie oricât de mult de ea. Fotonul se deplasează cu c tocmai pentru că are masa de repaus zero.

Impulsul relativist păstrează forma clasică, dar cu masa relativistă:

• p = m·v = γ·m₀·v

În acceleratoarele de particule efectul se vede direct: protonii accelerați la viteze foarte apropiate de c au o inerție de mii de ori mai mare decât în repaus, iar magneții care îi curbează trebuie dimensionați în consecință. Un accelerator proiectat pe baza mecanicii clasice pur și simplu nu ar funcționa.

Eroarea frecventă la itemii cu variante: se crede că un corp foarte rapid „adună materie” sau devine mai dens. Nu se adaugă nimic — numărul de atomi rămâne același. Creșterea masei relativiste exprimă creșterea inerției și a conținutului de energie, nu apariția de substanță nouă.

Echivalența masă–energie

Cea mai cunoscută relație din fizică leagă masa de energie:

• E = m·c² = γ·m₀·c² — energia totală a corpului în mișcare;
• E₀ = m₀·c² — energia de repaus, pe care corpul o are chiar și stând nemișcat;
• E_c = E − E₀ = (m − m₀)·c² — energia cinetică relativistă.

Semnificația fizică este radicală: masa și energia sunt două forme ale aceleiași mărimi. Orice creștere de energie a unui sistem înseamnă o creștere a masei lui și invers. Factorul c² fiind uriaș (9·10¹⁶), o cantitate minusculă de masă corespunde unei energii enorme: 1 gram de substanță transformat integral în energie ar da 9·10¹³ J.

O capcană de calcul: energia cinetică relativistă nu se calculează cu m·v²/2. Formula clasică este doar o aproximație valabilă la viteze mici; la viteze comparabile cu c ea dă rezultate mult prea mici. Formula corectă este E_c = (γ − 1)·m₀·c².

Aplicațiile care se cer la examen sunt din fizica nucleară:

• defectul de masă — masa unui nucleu este mai mică decât suma maselor nucleonilor componenți; diferența Δm corespunde energiei de legătură E_leg = Δm·c², energia necesară pentru a desface nucleul;
• fisiunea nucleară — nucleele grele se rup în fragmente a căror masă totală este mai mică; diferența se eliberează ca energie (centrale nucleare);
• fuziunea nucleară — nucleele ușoare se unesc cu pierdere de masă; este sursa de energie a Soarelui și a stelelor;
• anihilarea electron-pozitron, în care masa de repaus se transformă integral în doi fotoni.

În toate aceste procese nu se conservă separat masa și separat energia, așa cum se învață în chimia de gimnaziu, ci energia totală, în care masa de repaus intră ca termen.

Test — 6 întrebări ca la examen