Oscilații mecanice

Studiul mișcării oscilatorii, al pendulului și al oscilatorului elastic.

Ce este o oscilație și cum o descriem

O mișcare oscilatorie este o mișcare care se repetă simetric de o parte și de alta a unei poziții de echilibru. Corpul care execută o astfel de mișcare se numește oscilator.

Pentru ca oscilația să existe, este nevoie de o forță de revenire îndreptată mereu spre poziția de echilibru. Când această forță este proporțională cu depărtarea de echilibru și de sens opus, adică F = −k·x, mișcarea se numește oscilație armonică — cazul studiat la BAC.

Mărimile caracteristice:

• elongația x — depărtarea instantanee față de poziția de echilibru, în metri; poate fi pozitivă sau negativă;
• amplitudinea A — valoarea maximă a elongației; este mereu pozitivă;
• perioada T — durata unei oscilații complete, în secunde;
• frecvența ν = 1/T, în hertzi — numărul de oscilații pe secundă;
• pulsația ω = 2π/T = 2πν, în rad/s;
• faza (ωt + φ₀) și faza inițială φ₀.

Legea de mișcare a oscilatorului armonic este x = A·sin(ωt + φ₀). Prin derivare succesivă se obțin viteza v = A·ω·cos(ωt + φ₀) și accelerația a = −A·ω²·sin(ωt + φ₀) = −ω²·x.

Ultima relație merită subliniată: în oscilația armonică accelerația este proporțională cu elongația și de semn opus. De aici rezultă un rezultat contraintuitiv, cerut des la examen: în punctele extreme (x = ±A) viteza este nulă, dar accelerația este maximă, iar la trecerea prin poziția de echilibru (x = 0) viteza este maximă (v_max = A·ω), iar accelerația este nulă.

O oscilație completă înseamnă drumul dus-întors integral: din poziția de echilibru într-un extrem, înapoi prin echilibru până în celălalt extrem și retur. Distanța parcursă într-o perioadă este 4A, nu 2A — greșeală care apare frecvent la probleme.

Oscilatorul elastic și pendulul gravitațional

Cele două sisteme oscilante din programă se studiază în paralel, iar comparația lor este o sursă sigură de itemi.

Oscilatorul elastic (arcul cu masă)

Un corp de masă m atârnat de un arc cu constanta elastică k. Forța de revenire este forța elastică, F = −k·x (legea lui Hooke), iar perioada de oscilație este:

T = 2π·√(m/k)

Citirea formulei: perioada crește dacă masa e mai mare (corp mai inert, oscilează mai lent) și scade dacă arcul e mai rigid (k mare). Foarte important: perioada nu depinde de amplitudine — un arc tras mai tare oscilează la fel de repede, doar cu deplasări mai mari. Nici accelerația gravitațională nu intră în formulă: același oscilator elastic ar avea aceeași perioadă pe Lună.

Pendulul gravitațional

Un corp mic suspendat de un fir inextensibil de lungime l. Pentru oscilații mici (unghiuri sub circa 5°), perioada este:

T = 2π·√(l/g)

Citirea formulei: perioada depinde doar de lungimea firului și de accelerația gravitațională. Ea nu depinde nici de masa corpului, nici de amplitudine — două afirmații testate în aproape orice variantă de BAC. Pe Lună, unde g este de circa 6 ori mai mic, același pendul ar oscila mai lent, cu o perioadă de aproximativ 2,4 ori mai mare.

În ambele formule perioada depinde de rădăcina pătrată a mărimii din numărător. Consecință practică: pentru a dubla perioada unui pendul trebuie să faci firul de patru ori mai lung, nu de două ori. Aceeași logică la arc — masa trebuie mărită de patru ori.

Condiția oscilațiilor mici nu este un detaliu decorativ: la unghiuri mari formula T = 2π√(l/g) devine o aproximație tot mai proastă, iar mișcarea nu mai este riguros armonică.

Energia în mișcarea oscilatorie

Un oscilator ideal (fără frecări) este un sistem în care energia trece continuu dintr-o formă în alta, dar totalul rămâne constant.

La oscilatorul elastic:

• energia cinetică: E_c = m·v²/2;
• energia potențială elastică: E_p = k·x²/2;
• energia totală: E = E_c + E_p = k·A²/2 = m·ω²·A²/2 = constant.

De aici se citește un rezultat foarte întrebat: energia totală a oscilatorului este proporțională cu pătratul amplitudinii. Dacă amplitudinea se dublează, energia devine de patru ori mai mare, nu de două ori.

Schimbul de energie pe parcursul unei oscilații:

• în pozițiile extreme (x = ±A): viteza este zero, deci E_c = 0, iar toată energia este potențială, E_p = k·A²/2;
• în poziția de echilibru (x = 0): energia potențială este zero, iar toată energia este cinetică, E_c = m·v_max²/2, cu v_max = A·ω;
• în rest, cele două se completează reciproc.

De aici rezultă și relația utilă pentru viteza în orice punct: din k·A²/2 = k·x²/2 + m·v²/2 se obține v = ω·√(A² − x²).

Un detaliu de frecvență care surprinde: energia cinetică și cea potențială oscilează cu o frecvență dublă față de elongație, pentru că fiecare trece de două ori prin maxim într-o singură perioadă a mișcării.

La pendulul gravitațional, rolul energiei potențiale elastice este preluat de energia potențială gravitațională, E_p = m·g·h, unde h este înălțimea față de poziția cea mai de jos. Mecanismul rămâne identic: energia potențială maximă în punctele extreme, energie cinetică maximă la trecerea prin punctul cel mai de jos.

Oscilații amortizate, oscilații forțate și rezonanța

În realitate niciun oscilator nu funcționează la nesfârșit: frecarea cu aerul și frecările interne consumă energia mecanică și o transformă în căldură.

Oscilațiile amortizate sunt oscilațiile reale, în care amplitudinea scade progresiv până la oprire, iar energia totală scade și ea. O precizare importantă și des greșită: la amortizare slabă perioada rămâne practic neschimbată — se micșorează amplitudinea, nu ritmul oscilațiilor. Un pendul care se stinge treptat continuă să bată aproximativ la fel de des.

După intensitatea amortizării, sistemul poate reveni la echilibru oscilând tot mai slab (regim oscilatoriu amortizat) sau chiar fără să mai oscileze deloc, dacă frecarea este foarte mare (regim aperiodic) — cazul amortizoarelor de la mașină, proiectate special să nu lase caroseria să oscileze.

Oscilațiile forțate apar când asupra oscilatorului acționează o forță exterioară periodică, de frecvență ν. După o perioadă de tranziție, sistemul ajunge să oscileze cu frecvența forței exterioare, nu cu frecvența lui proprie — iar amplitudinea rămâne constantă, pentru că energia consumată prin frecare este compensată de forța exterioară.

Rezonanța mecanică se produce când frecvența forței exterioare devine egală cu frecvența proprie a oscilatorului (ν = ν₀). În acest caz amplitudinea oscilațiilor devine maximă, iar transferul de energie de la sursa exterioară către oscilator este cel mai eficient.

Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât maximul de rezonanță este mai înalt și mai ascuțit; o amortizare puternică turtește vârful și îl coboară.

Exemple din programă: un copil în leagăn împins exact la momentul potrivit ajunge tot mai sus; un pahar de cristal poate fi spart de un sunet acordat pe frecvența lui proprie; soldații rup pasul pe pod tocmai pentru a nu excita accidental frecvența proprie a construcției. Rezonanța nu este deci doar un fenomen util, ci și un pericol pe care inginerii îl calculează explicit.

Test — 6 întrebări ca la examen