Elemente de cinematică

Studiul mișcării corpurilor fără a lua în considerare cauzele care o produc.

Sistem de referință, vector de poziție, deplasare

Cinematica descrie cum se mișcă un corp, fără să se întrebe de ce — cauzele sunt treaba dinamicii.

Un corp este în mișcare dacă își schimbă poziția față de un reper și în repaus dacă poziția rămâne aceeași. Ambele stări sunt relative: pasagerul dintr-un tren este în repaus față de vagon și în mișcare față de gară. De aceea orice problemă începe cu alegerea unui sistem de referință = un corp de referință + un sistem de axe + un ceas.

Modelul folosit la clasa a IX-a este punctul material (mobilul): un corp ale cărui dimensiuni sunt neglijabile față de distanțele parcurse. Un tren de 200 m poate fi punct material pe traseul București–Brașov, dar nu și la intrarea într-o gară de 300 m.

Mărimile de bază:

• traiectoria – linia descrisă de mobil; după forma ei mișcarea e rectilinie sau curbilinie, iar forma depinde de reperul ales;
• vectorul de poziție – vectorul dus din originea sistemului până la mobil;
• deplasarea Δr – vectorul dus din poziția inițială în poziția finală; este vectorială;
• distanța parcursă – lungimea efectivă a drumului; este scalară și nu scade niciodată.

Pe o traiectorie rectilinie parcursă într-un singur sens, modulul deplasării este egal cu distanța. În orice alt caz distanța este mai mare: la un tur complet de stadion deplasarea este nulă, dar distanța este 400 m.

Mișcarea rectilinie uniformă

Mișcarea rectilinie uniformă (MRU) are traiectoria dreaptă și viteza constantă ca modul, direcție și sens. Prin urmare accelerația este nulă.

Legea de mișcare este x = x0 + v·t, unde x0 este poziția inițială. Dacă mobilul pleacă din origine, x = v·t.

Mărimile de reținut:

• viteza medie: v_medie = distanța totală / timpul total. Este o mărime scalară calculată pe drumul efectiv parcurs;
• viteza momentană: viteza la un moment dat, indicată de vitezometru; în MRU cele două coincid.

Capcana clasică de examen: dacă un mobil parcurge jumătate din drum cu 40 km/h și cealaltă jumătate cu 60 km/h, viteza medie nu este 50 km/h. Se calculează cu definiția: v_medie = d_total/t_total = 2·v1·v2/(v1 + v2) = 48 km/h. Media aritmetică ar fi corectă doar dacă vitezele s-ar menține intervale de timp egale, nu distanțe egale.

Reprezentări grafice, cerute constant la BAC:

• graficul v–t este o dreaptă orizontală, iar aria dreptunghiului de sub ea, între două momente, reprezintă distanța parcursă;
• graficul x–t este o dreaptă înclinată, iar panta ei este chiar viteza. Panta mai mare înseamnă viteză mai mare, panta negativă înseamnă mișcare în sens opus axei, iar o dreaptă orizontală înseamnă repaus.

În problemele de întâlnire a două mobile se scriu legile x1(t) și x2(t) în același sistem de referință și se pune condiția x1 = x2.

Mișcarea rectilinie uniform variată

În mișcarea rectilinie uniform variată (MRUV) accelerația este constantă: viteza se modifică în cantități egale în intervale de timp egale.

Accelerația a = Δv/Δt se măsoară în m/s^2 și este vectorială. Mișcarea este:

• uniform accelerată dacă accelerația are același sens cu viteza — viteza crește;
• uniform încetinită (decelerată) dacă accelerația are sens opus vitezei — viteza scade.

Semnul minus al accelerației nu înseamnă automat frânare: contează raportul dintre sensul lui a și sensul lui v. Un corp care se mișcă în sensul negativ al axei cu a negativ accelerează.

Formulele obligatorii:

• v = v0 + a·t
• x = x0 + v0·t + a·t^2/2
• formula lui Galilei: v^2 = v0^2 + 2·a·Δx (folosită când timpul nu este dat și nici nu se cere)
• distanța până la oprire, pentru v = 0: d = v0^2/(2·a)

Ultima relație are o consecință de siguranță rutieră care apare frecvent în subiecte: distanța de frânare crește cu pătratul vitezei. La viteză dublă, spațiul de frânare devine de patru ori mai mare, nu de două ori.

Grafic: în MRUV, graficul v–t este o dreaptă înclinată a cărei pantă este accelerația, iar aria de sub grafic rămâne distanța parcursă. Graficul x–t este un arc de parabolă. Dacă graficul v–t taie axa timpului, în acel moment mobilul se oprește și își schimbă sensul de mișcare.

Căderea liberă și mișcarea pe verticală

Căderea liberă este mișcarea unui corp lăsat să cadă doar sub acțiunea greutății, cu frecarea cu aerul neglijată. Este un caz particular de MRUV cu accelerația egală cu accelerația gravitațională g, orientată vertical în jos, cu valoarea aproximativă de 9,8 m/s^2 (în probleme se folosește frecvent 10 m/s^2).

Rezultatul care surprinde: în vid, toate corpurile cad cu aceeași accelerație, indiferent de masă. O bilă de plumb și o pană ajung simultan jos, pentru că accelerația g nu depinde de masa corpului care cade. În aer, pana rămâne în urmă din cauza rezistenței aerului, nu din cauza masei mai mici.

Pentru un corp lăsat liber din repaus de la înălțimea h, cu axa orientată în jos:

• v = g·t
• h = g·t^2/2, de unde timpul de cădere t = radical din (2h/g)
• viteza la sol: v = radical din (2·g·h)

Pentru un corp aruncat vertical în sus cu viteza v0, accelerația rămâne g, îndreptată tot în jos, și în urcare, și în coborâre. La înălțimea maximă viteza este nulă, dar accelerația nu este nulă — este tot g. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la itemii de bacalaureat.

Mai rezultă: înălțimea maximă h_max = v0^2/(2g), timpul de urcare t_urcare = v0/g, egal cu timpul de coborâre, iar corpul revine în punctul de lansare cu o viteză de același modul ca la aruncare, dar de sens opus.

Mișcarea circulară uniformă

În mișcarea circulară uniformă mobilul parcurge un cerc, iar modulul vitezei rămâne constant. Traiectoria fiind curbă, direcția vitezei se schimbă permanent, deci mișcarea este accelerată chiar dacă viteza nu își schimbă valoarea.

Mărimi caracteristice:

• perioada T – timpul unei rotații complete, în secunde;
• frecvența ν = 1/T – numărul de rotații pe secundă, în hertzi (Hz);
• viteza unghiulară ω = 2π/T = 2π·ν, în rad/s;
• viteza liniară (tangențială) v = 2πR/T = ω·R, tangentă la cerc în fiecare punct;
• accelerația centripetă a_cp = v^2/R = ω^2·R, orientată mereu spre centrul cercului.

Accelerația centripetă nu modifică modulul vitezei, ci numai direcția ei. De aceea este perpendiculară pe viteză în orice punct. Forța care o produce (forța centripetă F = m·v^2/R) nu este un tip nou de forță: ea este, după caz, tensiunea din fir, forța de frecare dintre roți și șosea sau forța gravitațională.

Două capcane de examen. Prima: forța centrifugă nu apare în sistemele de referință inerțiale — senzația de aruncare spre exterior în viraj se explică prin inerție, nu printr-o forță reală care ar acționa asupra corpului. A doua: pentru două puncte de pe același disc care se rotește, viteza unghiulară este aceeași, dar viteza liniară este mai mare la punctul mai depărtat de centru, pentru că v = ω·R.

Test — 6 întrebări ca la examen