Echilibrul corpurilor

Condițiile de echilibru static pentru corpuri punctiforme și corpuri rigide.

Echilibrul punctului material

Un punct material este în echilibru atunci când rezultanta forțelor care acționează asupra lui este nulă. Punctul material nu se poate roti, deci pentru el există o singură condiție de echilibru.

În practică, condiția vectorială R = 0 se traduce prin două ecuații scalare, obținute prin proiectarea forțelor pe axe:

• suma proiecțiilor pe Ox este zero;
• suma proiecțiilor pe Oy este zero.

Atenție la o distincție care se cere explicit: echilibrul nu înseamnă neapărat repaus. Un corp aflat în mișcare rectilinie uniformă este tot în echilibru, pentru că accelerația lui este nulă. Se vorbește atunci de echilibru dinamic, spre deosebire de echilibrul static, în care corpul stă pe loc.

Situații tipice de examen:

• corp suspendat de două fire care fac unghiuri cu verticala: se proiectează tensiunile pe orizontală și pe verticală; suma componentelor orizontale se anulează, iar suma componentelor verticale echilibrează greutatea;
• corp pe plan înclinat, în repaus: pe direcția planului, forța care îl susține echilibrează componenta m·g·sin α, iar pe perpendiculară N = m·g·cos α;
• trei forțe concurente în echilibru: vectorii lor formează un triunghi închis, ceea ce permite rezolvarea rapidă cu teorema sinusurilor sau cu Pitagora.

O consecință utilă la itemi: dacă asupra unui punct material acționează trei forțe în echilibru, oricare dintre ele este egală și opusă rezultantei celorlalte două.

Momentul forței față de un ax

Pentru un corp care se poate roti nu contează doar cât de mare este forța, ci și unde este aplicată. Mărimea care descrie efectul de rotație este momentul forței.

M = F·b, unde b este brațul forței = distanța de la axul de rotație până la suportul forței, măsurată pe perpendiculară. Unitatea de măsură este N·m — atenție, nu se numește joule, deși dimensional coincide: joule-ul este rezervat energiei.

Dacă forța face unghiul α cu direcția care unește axul cu punctul de aplicație, atunci M = F·d·sin α. De aici două consecințe:

• momentul este maxim când forța este perpendiculară pe brațul de pârghie (α = 90 de grade);
• momentul este nul dacă suportul forței trece prin ax (b = 0), oricât de mare ar fi forța. De aceea nu poți deschide o ușă împingând exact în balama.

Momentul este o mărime vectorială; la nivelul clasei a IX-a se lucrează cu semnul lui: prin convenție se consideră pozitiv momentul care rotește corpul într-un sens (de obicei trigonometric) și negativ cel care rotește în sens contrar.

Aplicația directă este pârghia: la echilibru, F1·b1 = F2·b2. Aici se vede de ce o forță mică aplicată la distanță mare poate echilibra o forță mare aplicată aproape de ax — principiul ranga, al foarfecii și al balanței cu brațe inegale.

Condițiile de echilibru ale corpului rigid

Un corp rigid este un corp ale cărui puncte păstrează distanțe constante între ele, deci nu se deformează. El poate avea două tipuri de mișcare: translație și rotație. Prin urmare are nevoie de două condiții de echilibru, nu de una:

• condiția de echilibru la translație: rezultanta forțelor este nulă (suma proiecțiilor pe fiecare axă este zero);
• condiția de echilibru la rotație: suma algebrică a momentelor tuturor forțelor față de orice ax este nulă.

Ambele trebuie îndeplinite simultan. Un corp poate avea rezultanta nulă și totuși să se rotească: două forțe egale, paralele și de sensuri opuse, aplicate în puncte diferite, formează un cuplu de forțe. Rezultanta lor este zero, dar momentul cuplului nu este — este exact ceea ce se întâmplă când răsucești volanul cu ambele mâini. Acesta este motivul pentru care condiția momentelor nu se poate deduce din prima.

Strategia de rezolvare la bacalaureat: se aleg axele, se scriu cele două ecuații de proiecție, apoi se scrie ecuația momentelor alegând axul convenabil. Alegerea inteligentă a axului este cheia: dacă îl pui în punctul de aplicație al unei forțe necunoscute, momentul acelei forțe devine zero și ecuația rămâne cu o singură necunoscută.

La bara sprijinită pe două reazeme, alegerea axului într-unul dintre reazeme elimină reacțiunea de acolo și dă direct reacțiunea din celălalt.

Centrul de greutate

Centrul de greutate al unui corp este punctul de aplicație al rezultantei greutăților tuturor particulelor care alcătuiesc corpul. Practic, este punctul în care poate fi considerată concentrată întreaga greutate a corpului.

Proprietăți care se cer la examen:

• pentru corpuri omogene și cu formă geometrică regulată, centrul de greutate coincide cu centrul geometric (centrul cercului, intersecția diagonalelor, mijlocul barei);
• centrul de greutate poate fi situat în afara corpului: la un inel, la o potcoavă sau la un bumerang, el se află în spațiul gol;
• poziția lui nu depinde de orientarea corpului, ci doar de distribuția masei.

Determinarea experimentală pentru o placă: se suspendă succesiv din două puncte diferite și se trasează de fiecare dată verticala; intersecția verticalelor este centrul de greutate. Metoda funcționează pentru că un corp suspendat se așază astfel încât centrul de greutate să ajungă pe verticala punctului de suspensie.

Pentru un sistem de corpuri, coordonatele centrului de greutate se calculează ca medie ponderată cu masele: x_C = (m1·x1 + m2·x2 + ...)/(m1 + m2 + ...), și analog pentru y. Corpul mai greu trage centrul de greutate spre el, ceea ce explică de ce, la o balanță cu două corpuri de mase diferite, punctul de echilibru nu este la mijloc.

În practică, poziția centrului de greutate explică de ce mașinile de curse sunt joase și late: cu cât centrul de greutate este mai jos și baza de sprijin mai largă, cu atât corpul se răstoarnă mai greu.

Tipuri de echilibru static

După ce se întâmplă când corpul este scos ușor din poziția de echilibru, se disting trei tipuri de echilibru:

• echilibru stabil – la o mică deplasare, corpul revine singur în poziția inițială. Centrul de greutate se află în poziția cea mai joasă posibilă, iar energia potențială este minimă. Exemplu: un pendul lăsat în jos, o bilă în fundul unui castron.
• echilibru instabil – la o mică deplasare, corpul se îndepărtează și mai mult de poziția inițială. Centrul de greutate este în poziția cea mai înaltă, iar energia potențială este maximă. Exemplu: un creion ținut vertical pe vârf, o bilă pe creștetul unei calote.
• echilibru indiferent – corpul rămâne în echilibru în orice poziție în care este adus; înălțimea centrului de greutate nu se modifică, deci energia potențială rămâne constantă. Exemplu: o bilă pe o masă orizontală, o roată care se poate roti liber în jurul axului ce trece prin centrul ei de greutate.

Criteriul general este deci energetic: echilibrul este stabil în punctul de energie potențială minimă și instabil în punctul de maxim.

Pentru un corp sprijinit pe o suprafață se adaugă condiția de nerăsturnare: corpul rămâne în echilibru atât timp cât verticala centrului de greutate cade în interiorul bazei de sprijin. Când verticala iese din bază, apare un moment care răstoarnă corpul. Aceasta explică de ce Turnul din Pisa nu cade, de ce un autobuz aglomerat cu pasageri la etaj se răstoarnă mai ușor în viraj și de ce stai mai stabil cu picioarele depărtate.

Test — 6 întrebări ca la examen