Drepte și unghiuri

Studiul elementelor de geometrie plană: drepte, semidrepte, segmente și unghiuri.

Punct, dreaptă, semidreaptă, plan

Geometria pornește de la câteva noțiuni de bază, pe care nu le definim, ci le descriem:

• punctul — urma lăsată de un creion foarte ascuțit; nu are dimensiuni; se notează cu literă mare: A, B, M;
• dreapta — un fir perfect întins, nemărginit în ambele sensuri; se notează cu literă mică (d, a) sau prin două puncte ale ei: AB;
• planul — o suprafață perfect netedă, nemărginită în toate direcțiile, ca o foaie infinită; se notează cu litere grecești (α, β).

Relații fundamentale, cerute la examen exact cu aceste formulări:

• prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una — de aceea două puncte „determină” o dreaptă;
• printr-un singur punct trec oricâte drepte;
• trei sau mai multe puncte aflate pe aceeași dreaptă se numesc coliniare; dacă nu există o asemenea dreaptă, punctele sunt necoliniare.

O semidreaptă este porțiunea dintr-o dreaptă mărginită într-un singur sens: are un capăt, numit origine, și se întinde la nesfârșit în celălalt sens. Se notează [OA — cu paranteză pătrată la origine. Raza de lumină a unei lanterne este imaginea perfectă a semidreptei.

O dreaptă împarte planul în două semiplane; dreapta este granița lor comună.

Atenție la deosebirea des încurcată: dreapta nu are capete, semidreapta are un capăt, segmentul are două.

Segmentul și mijlocul lui

Segmentul este porțiunea de dreaptă cuprinsă între două puncte, împreună cu acestea. Punctele se numesc capetele segmentului, iar segmentul cu capetele A și B se notează [AB].

Spre deosebire de dreaptă și semidreaptă, segmentul poate fi măsurat: lungimea lui este distanța dintre capete și se notează AB (fără paranteze). Se măsoară cu rigla, în unități de lungime: mm, cm, m.

Două segmente care au aceeași lungime se numesc segmente congruente și scriem [AB] ≡ [CD]. Congruența e ideea de „copii identice”: dacă ai decupa segmentele, s-ar suprapune perfect. Pe desene, segmentele congruente se marchează cu liniuțe identice.

Mijlocul unui segment este punctul M aflat pe segment, la egală distanță de capete: AM = MB = AB : 2. Fiecare segment are exact un mijloc.

Atenție la definiția completă: nu e suficient ca M să fie la distanțe egale de A și B — trebuie să fie și pe segment! Există o infinitate de puncte egal depărtate de A și B (toate pe o dreaptă specială, mediatoarea), dar doar unul singur dintre ele este mijlocul.

Calcule tipice cu mijlocul: dacă AB = 12 cm și M este mijlocul lui [AB], atunci AM = 6 cm. Dacă, în plus, N este mijlocul lui [AM], atunci AN = 3 cm — problemele înlănțuie deseori două-trei mijlocuri succesive, iar desenul clar este jumătate din rezolvare.

Unghiul și clasificarea unghiurilor

Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte cu aceeași origine. Semidreptele se numesc laturile unghiului, iar originea comună este vârful unghiului.

Unghiul cu vârful O și laturile OA, OB se notează ∠AOB — litera vârfului se scrie mereu la mijloc. Notarea ∠ABO în loc de ∠AOB indică alt unghi (cu vârful în B) și este o greșeală de punctaj.

Unghiurile se măsoară în grade, cu raportorul. Măsura unghiului ∠AOB se notează m(∠AOB). Două unghiuri cu aceeași măsură se numesc unghiuri congruente.

Clasificarea după măsură — tabelul de bază al capitolului:

• unghi nul: 0° — laturile coincid;
• unghi ascuțit: între 0° și 90° — mai „îngust” decât colțul foii;
• unghi drept: exact 90° — colțul foii de caiet; laturile sunt perpendiculare;
• unghi obtuz: între 90° și 180° — mai „deschis” decât colțul foii;
• unghi alungit (cu laturile în prelungire): exact 180° — laturile formează o dreaptă.

Capcane de clasificare: 90° NU este ascuțit și nici obtuz — este exact drept; 89° este ascuțit; 91° este obtuz. Granițele sunt stricte.

La măsurarea cu raportorul, cea mai frecventă eroare practică: citirea pe scala greșită (raportorul are două scale, una de la stânga, una de la dreapta). Verificare rapidă: dacă unghiul arată ascuțit, măsura citită trebuie să fie sub 90°.

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea unui unghi este semidreapta care pornește din vârful unghiului, trece prin interiorul lui și îl împarte în două unghiuri congruente (de măsuri egale).

Dacă OC este bisectoarea unghiului ∠AOB, atunci:

• m(∠AOC) = m(∠COB) = m(∠AOB) : 2.

Exemplu numeric: dacă m(∠AOB) = 70°, bisectoarea OC creează două unghiuri de câte 35°.

Toate cele trei condiții din definiție contează:

• pornește din vârf — o dreaptă care taie unghiul prin altă parte nu e bisectoare;
• trece prin interior — semidreapta opusă ar împărți exteriorul, nu unghiul;
• împarte în părți egale — orice altă semidreaptă interioară împarte unghiul, dar inegal.

Fiecare unghi are o singură bisectoare.

Problema inversă, frecventă la lucrări: OC este bisectoarea lui ∠AOB și m(∠AOC) = 28°; cât este m(∠AOB)? Răspuns: dublul, adică 56°. Elevii grăbiți împart la 2 în loc să înmulțească — citește cu atenție ce unghi e dat și ce unghi se cere.

Bisectoarea se poate construi cu raportorul (măsori unghiul, îl împarți la 2, marchezi) sau, mai elegant, doar cu compasul. Analogie utilă pentru reținut: bisectoarea este pentru unghi ce este mijlocul pentru segment — amândouă taie figura în două părți congruente.

Unghiuri complementare și suplementare

Două unghiuri se numesc:

• complementare, dacă suma măsurilor lor este 90°; fiecare este complementul celuilalt;
• suplementare, dacă suma măsurilor lor este 180°; fiecare este suplementul celuilalt.

Exemple: 30° și 60° sunt complementare (30 + 60 = 90); 110° și 70° sunt suplementare (110 + 70 = 180).

Calcul direct: complementul lui 25° este 90° − 25° = 65°; suplementul lui 25° este 180° − 25° = 155°.

Cum ții minte care e care? Suplementar — Sută optzeci; iar „complementar” vine înaintea lui „suplementar” în alfabet, la fel cum 90 vine înaintea lui 180. Confuzia dintre cele două noțiuni este, de departe, cea mai frecventă greșeală a capitolului.

Observații care apar în itemii de examen:

• doar unghiurile ascuțite pot avea complement (un unghi de 100° nu are: 90 − 100 ar fi negativ);
• două unghiuri complementare congruente au fiecare 45°; două suplementare congruente au fiecare 90°;
• dacă două unghiuri sunt suplementare și unul e de trei ori mai mare decât celălalt, atunci 4 părți egale fac 180°, deci unghiurile sunt 45° și 135° — problemele cu „de n ori mai mare” se rezolvă împărțind suma la numărul total de părți.

Geometric, două unghiuri adiacente (cu același vârf, o latură comună și interioarele de o parte și de alta a ei) ale căror laturi necomune sunt în prelungire sunt automat suplementare — formează împreună un unghi alungit.

Drepte paralele și drepte perpendiculare

Două drepte din același plan pot sta una față de cealaltă în două feluri:

• drepte concurente — au exact un punct comun (se intersectează);
• drepte paralele — nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi; se notează a ∥ b.

Șinele de tren sunt imaginea clasică a paralelelor; foarfeca deschisă — a concurentelor.

Dreptele perpendiculare sunt un caz special de drepte concurente: se intersectează formând unghiuri drepte (de 90°). Se notează a ⊥ b. Colțurile caroiajului de matematică sunt intersecții de drepte perpendiculare.

Atenție: perpendicularele SUNT concurente (au un punct comun); perpendicular și paralel sunt situații opuse, nu variante ale aceleiași idei.

Două rezultate de bază, formulate exact cum se cer:

• printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la dreapta dată;
• dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

Proprietăți de legătură, utile în probleme:

• două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele;
• dacă a ∥ b și c ⊥ a, atunci c ⊥ b — perpendiculara pe una dintre paralele este perpendiculară și pe cealaltă;
• dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c (paralelismul „se transmite”).

Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară — este lungimea segmentului de perpendiculară dus din punct pe dreaptă. Orice alt drum de la punct la dreaptă este mai lung; de aceea „pe scurtătură” înseamnă, matematic, pe perpendiculară.

Test — 6 întrebări ca la examen