Logica propozițiilor (elemente introductive)

Introducere în logica propozițională modernă, operatori logici și tabele de adevăr.

Propoziții simple și propoziții compuse

Logica propozițiilor studiază raporturile dintre propoziții luate ca întreguri, fără să le analizeze structura internă. Este diferența față de logica termenilor: acolo desfăceam judecata în subiect, predicat și copulă; aici propoziția e un bloc notat cu o literă.

• O propoziție simplă (atomară) nu conține niciun operator logic. Se notează cu litere mici: p, q, r, s. Exemplu: p = „Plouă”.
• O propoziție compusă (moleculară) se obține din propoziții simple, legate prin operatori (conectori) logici.

În logica propozițiilor contează doar valoarea de adevăr, notată 1 (adevărat) și 0 (fals) — sau A și F, ambele notații sunt acceptate la BAC. Nu contează despre ce vorbește propoziția, ci doar dacă e adevărată sau falsă.

De aici rezultă principiul compoziționalității, esențial pentru tot capitolul: valoarea de adevăr a unei propoziții compuse depinde exclusiv de valorile de adevăr ale componentelor și de operatorii folosiți. De aceea putem construi tabele.

Atenție la traducerea din limbaj natural: nu orice propoziție gramaticală este propoziție logică. Întrebările, ordinele și exclamațiile nu au valoare de adevăr, deci nu intră în calcul. „Închide fereastra!” nu e nici adevărat, nici fals.

O propoziție cu n variabile distincte generează un tabel cu 2 la puterea n linii: 2 variabile dau 4 linii, 3 variabile dau 8 linii. Numărul de linii se cere adesea explicit în subiect.

Operatorii logici și tabelele lor

Sunt cinci operatori de reținut, fiecare cu tabelul lui de adevăr. Tabelele acestea trebuie știute automat, altfel niciun exercițiu din capitol nu iese.

• Negația (non p) – schimbă valoarea: din 1 face 0, din 0 face 1. Este singurul operator unar, se aplică unei singure propoziții.
• Conjuncția (p și q) – adevărată doar când ambele sunt adevărate (1 într-un singur caz din patru). E cel mai „pretențios” operator.
• Disjuncția neexclusivă (p sau q) – falsă doar când ambele sunt false; e adevărată inclusiv când amândouă sunt adevărate. Este cea folosită implicit în logică.
• Disjuncția exclusivă (sau p, sau q) – adevărată doar când propozițiile au valori diferite. Corespunde lui „ori..., ori...”, cu excludere.
• Implicația (dacă p, atunci q) – falsă într-un singur caz: când antecedentul p e adevărat și consecventul q e fals (1 → 0). În toate celelalte trei cazuri e adevărată.
• Echivalența (p dacă și numai dacă q) – adevărată când ambele au aceeași valoare.

Implicația e capcana capitolului. Reține formula: din adevăr nu poate urma fals, dar din fals poate urma orice. De aceea „Dacă 2 + 2 = 5, atunci Luna e din brânză” este o implicație adevărată — antecedentul e fals, deci nu s-a încălcat nimic. Sună absurd, dar este exact ce spune definiția.

În implicație, p se numește antecedent (condiție suficientă), iar q consecvent (condiție necesară). Ordinea lor nu poate fi inversată: p → q nu înseamnă q → p.

Cum se construiește un tabel de adevăr

Tabelul de adevăr calculează valoarea unei formule pentru toate combinațiile posibile de valori ale variabilelor. Procedura are pași ficși.

1. Numeri variabilele distincte: n variabile dau 2 la puterea n linii. 2. Completezi coloanele de intrare sistematic, ca să nu ratezi nicio combinație. Pentru două variabile: p ia 1, 1, 0, 0; q ia 1, 0, 1, 0. 3. Calculezi pe etape, de la subformulele din paranteze spre exterior, respectând prioritatea operatorilor: mai întâi negația, apoi conjuncția, apoi disjuncția, apoi implicația, la final echivalența. Parantezele schimbă această ordine. 4. Citești coloana finală, cea a operatorului principal.

După rezultatul din coloana finală, formula se clasifică:

• Tautologie (lege logică) – adevărată pe toate liniile. Exemplu: p sau non p (terțul exclus).
• Contradicție (formulă inconsistentă) – falsă pe toate liniile. Exemplu: p și non p.
• Contingență (formulă realizabilă) – adevărată pe unele linii și falsă pe altele. Este cazul majorității formulelor.

Relația care se cere adesea: negația unei tautologii este o contradicție, și invers; negația unei contingențe rămâne contingență.

Două legi utile de verificat ca exercițiu, numite legile lui De Morgan: negația unei conjuncții este echivalentă cu disjuncția negațiilor, iar negația unei disjuncții este echivalentă cu conjuncția negațiilor. Practic: „Nu e adevărat că a venit și Ana, și Bogdan” înseamnă „Ori n-a venit Ana, ori n-a venit Bogdan”.

Modus ponens, modus tollens și formele lor false

Din implicație se nasc patru scheme de raționament: două valide și două nevalide. Ele apar la BAC în fiecare sesiune, într-o formă sau alta.

Valide:

• Modus ponens (modul afirmării) – Dacă p, atunci q. Se dă p. Deci q. Se afirmă antecedentul, se obține consecventul. „Dacă plouă, strada e udă. Plouă. Deci strada e udă.”
• Modus tollens (modul negării) – Dacă p, atunci q. Non q. Deci non p. Se neagă consecventul, se obține negația antecedentului. „Dacă plouă, strada e udă. Strada nu e udă. Deci nu plouă.”

Nevalide (erori formale):

• Afirmarea consecventului – Dacă p, atunci q. Se dă q. Deci p. Fals: „Strada e udă, deci plouă” — putea trece mașina de stropit.
• Negarea antecedentului – Dacă p, atunci q. Non p. Deci non q. Fals: „Nu plouă, deci strada nu e udă” — aceeași mașină de stropit.

Regula de memorat, care le rezumă pe toate patru: afirmi doar înainte, negi doar înapoi. Adică afirmarea funcționează doar dinspre antecedent spre consecvent, iar negarea doar dinspre consecvent spre antecedent.

Alte două scheme valide cerute în programă:

• Silogismul disjunctiv – p sau q. Non p. Deci q.
• Silogismul ipotetic (tranzitivitatea implicației) – Dacă p, atunci q. Dacă q, atunci r. Deci dacă p, atunci r.

Verificarea oricărei scheme se face la fel: transformi raționamentul într-o implicație de la conjuncția premiselor la concluzie și faci tabelul. Dacă rezultă tautologie, raționamentul e valid; dacă apare măcar un 0, e nevalid.

Traducerea din limbaj natural în formule

Cel mai frecvent punct pierdut la acest capitol nu e calculul tabelului, ci formalizarea — trecerea de la propoziția din română la formulă. Iată corespondențele care contează.

Pentru implicație, toate acestea se scriu p → q:

• „Dacă p, atunci q”;
• „p, deci q”;
• „q, dacă p” (atenție, ordinea în formulă se inversează față de text);
• „p numai dacă q” — aici p e antecedentul, nu invers;
• „p este suficient pentru q”;
• „q este necesar pentru p”.

Ultimele două perechi sunt sursa clasică de confuzie. Reține: condiția suficientă stă în față, condiția necesară stă în spate. „Numai dacă” marchează consecventul, „dacă” singur marchează antecedentul.

Pentru conjuncție se traduc la fel: „și”, „dar”, „deși”, „totuși”, „cu toate că”. Logica ignoră nuanța de opoziție — „Am învățat, dar am luat notă mică” este pur și simplu o conjuncție.

Pentru disjuncție, trebuie decis dacă „sau” e exclusiv sau nu. „Merg la munte sau la mare” admite ambele (neexclusiv); „S-a născut la Cluj sau la Iași” exclude una dintre variante (exclusiv). Când contextul nu forțează excluderea, se folosește disjuncția neexclusivă.

Pentru negație, formulările „nu e adevărat că p”, „este fals că p”, „p nu are loc” dau toate non p.

Ultim sfat de examen: după ce ai formalizat, verifică traducerea invers — citește formula în română și compară cu propoziția inițială. Dacă sensul s-a schimbat, greșeala e la formalizare, iar tot calculul care urmează va fi corect executat, dar aplicat unei formule greșite.

Test — 6 întrebări ca la examen