Relativitate restrânsă

Principiile relativității lui Einstein, dilatarea timpului, contracția lungimilor și echivalența masă-energie.

Postulatele relativității restrânse

La sfârșitul secolului al XIX-lea, fizica avea o contradicție serioasă. Mecanica newtoniană cerea ca vitezele să se compună simplu, prin adunare, dar ecuațiile lui Maxwell dădeau pentru lumină o viteză c care nu depindea de nimic. Experimentul Michelson-Morley a încercat să detecteze mișcarea Pământului față de ipoteticul eter și a obținut un rezultat negativ: viteza luminii ieșea aceeași în toate direcțiile.

Einstein (1905) a rezolvat contradicția renunțând nu la Maxwell, ci la ideile clasice despre spațiu și timp. Teoria lui se sprijină pe două postulate:

1. Principiul relativității: toate legile fizicii (nu doar cele ale mecanicii, ca la Galilei) au aceeași formă în toate sistemele de referință inerțiale. Niciun experiment făcut în interiorul unui laborator nu poate stabili dacă acesta se mișcă rectiliniu uniform sau stă pe loc; nu există sistem de referință privilegiat, deci nu există repaus absolut. 2. Constanța vitezei luminii: viteza luminii în vid are aceeași valoare c în toate sistemele inerțiale, indiferent de mișcarea sursei sau a observatorului.

Al doilea postulat este cel care rupe intuiția. Dacă alergi cu 200 000 km/s după un fascicul de lumină, nu îl vezi îndepărtându-se cu 100 000 km/s, ci tot cu 300 000 km/s. Consecința inevitabilă este că timpul și lungimile nu mai pot fi absolute — dacă viteza rămâne aceeași pentru toți, atunci trebuie să se schimbe distanțele și duratele.

Două precizări cerute în evaluări. Prima: teoria se numește restrânsă pentru că se limitează la sisteme de referință inerțiale; cazul general, cu accelerații și gravitație, este tratat de relativitatea generalizată (1915). A doua: relativitatea nu desființează mecanica newtoniană, ci o conține ca aproximație valabilă pentru v mult mai mic decât c. Aceasta este esența principiului de corespondență.

Relativitatea simultaneității

Prima consecință, și cea mai greu de acceptat, privește noțiunea de simultaneitate.

Experimentul mintal clasic: un vagon se deplasează cu viteză mare, iar în mijlocul lui se aprinde o sursă de lumină. Pentru un observator din vagon, lumina parcurge distanțe egale spre cei doi pereți, deci ajunge la ei simultan. Pentru un observator de pe peron, lumina se propagă tot cu viteza c (postulatul al doilea), dar între timp peretele din spate se apropie de locul emisiei, iar cel din față se depărtează. Prin urmare, pentru el, lumina atinge întâi peretele din spate. Cele două evenimente nu mai sunt simultane.

Concluzia: simultaneitatea a două evenimente care se petrec în locuri diferite este relativă, depinde de sistemul de referință. Ceea ce e simultan pentru un observator nu este simultan pentru altul, aflat în mișcare față de primul, iar niciunul dintre ei nu greșește.

Două precizări obligatorii, care taie interpretările greșite:

• relativitatea simultaneității privește doar evenimentele care se petrec în locuri diferite; două evenimente care se produc în același loc și în același moment rămân simultane pentru orice observator;
• relația de cauzalitate nu se răstoarnă niciodată. Dacă un eveniment îl provoacă pe altul, ordinea lor este aceeași pentru toți observatorii. Motivul este că nicio interacțiune nu se poate propaga mai repede decât lumina, iar viteza c rămâne o limită absolută în natură.

Relativitatea nu înseamnă deci că totul este arbitrar. Dimpotrivă, ea afirmă că anumite mărimi (durata, lungimea, simultaneitatea) depind de observator, tocmai pentru ca altele — legile fizicii și viteza luminii — să fie absolute, aceleași pentru toți.

Dilatarea duratelor

Se numește durată proprie Δt₀ intervalul de timp dintre două evenimente măsurat de un ceas aflat în repaus față de acele evenimente, adică acolo unde ele se petrec în același loc. Orice alt observator, aflat în mișcare cu viteza v față de acest sistem, măsoară o durată mai mare:

Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²) = γ·Δt₀

Factorul γ = 1/√(1 − v²/c²) se numește factor Lorentz și este întotdeauna supraunitar.

Formularea de reținut, scurtă și corectă: ceasul aflat în mișcare merge mai încet. Nu pentru că mecanismul lui s-ar strica, ci pentru că însuși timpul curge diferit în sistemele aflate în mișcare relativă.

Ordine de mărime, ca să înțelegi de ce nu observăm efectul zilnic: pentru v = 0,1c, γ ≈ 1,005 (o corecție de 0,5 la sută); pentru v = 0,6c, γ = 1,25; pentru v = 0,8c, γ ≈ 1,67; pentru v = 0,99c, γ ≈ 7. Efectul devine spectaculos abia foarte aproape de c.

Confirmarea experimentală cea mai clară este dată de mioni. Aceste particule create în atmosfera înaltă au un timp mediu de viață de aproximativ 2,2 microsecunde, insuficient pentru a ajunge la sol chiar și cu viteza luminii. Totuși ele sunt detectate la nivelul mării, tocmai pentru că, în sistemul nostru, durata lor de viață apare dilatată. În sistemul propriu al mionului, explicația este echivalentă, dar arată altfel: nu timpul i se lungește, ci distanța până la sol se contractă.

Greșeala tipică la probleme este să confunzi durata proprie cu cea măsurată. Reține regula: Δt₀ este cea mai mică durată posibilă, măsurată de observatorul față de care evenimentele se petrec în același loc. Dacă rezultatul îți iese mai mic decât Δt₀, ai împărțit când trebuia să înmulțești.

Contracția lungimilor

Lungimea proprie l₀ este lungimea unui corp măsurată în sistemul de referință în care el se află în repaus. Un observator față de care corpul se mișcă cu viteza v măsoară o lungime mai mică:

l = l₀·√(1 − v²/c²) = l₀/γ

De reținut, în oglindă cu dilatarea timpului: duratele se lungesc, lungimile se scurtează. Este simetria care te ajută să nu greșești formula, pentru că radicalul stă la numitor la timp și la numărător la lungime.

Trei precizări importante:

• contracția are loc numai pe direcția mișcării; dimensiunile perpendiculare pe direcția de deplasare rămân neschimbate. O rachetă care zboară cu viteză relativistă apare mai scurtă, dar nu și mai subțire;
• l₀ este cea mai mare lungime măsurabilă a corpului; orice observator în mișcare va obține o valoare mai mică;
• contracția nu este o deformare fizică a corpului. Nimic nu apasă pe rachetă și nimic nu se strivește în ea; astronautul din interior nu simte nimic și măsoară lungimea proprie. Se modifică rezultatul măsurătorii de lungime făcute din alt sistem de referință, pentru că măsurarea lungimii unui corp în mișcare presupune determinarea simultană a poziției capetelor, iar simultaneitatea este relativă.

Această ultimă observație leagă cele trei efecte într-un singur mecanism: contracția lungimilor, dilatarea duratelor și relativitatea simultaneității nu sunt fenomene independente, ci trei fețe ale aceleiași structuri a spațiu-timpului.

Un exemplu numeric util: o rachetă cu lungimea proprie de 100 m, care trece cu 0,8c, este măsurată de un observator terestru ca având 100·0,6 = 60 m.

Masa, impulsul și energia relativiste

La viteze mari, nici masa nu se mai comportă clasic. Masa de repaus m₀ este masa măsurată în sistemul în care corpul stă pe loc, iar masa relativistă este:

m = m₀/√(1 − v²/c²) = γ·m₀

Ea crește nelimitat pe măsură ce v se apropie de c. De aici rezultă o concluzie fundamentală: niciun corp cu masă de repaus nenulă nu poate atinge viteza luminii, pentru că ar avea nevoie de energie infinită. Doar particulele fără masă de repaus, cum este fotonul, se deplasează cu viteza c — și doar cu ea.

Impulsul relativist este p = γ·m₀·v, iar acesta este cel care se conservă în ciocnirile la energii mari, nu produsul clasic m₀v.

Cea mai celebră relație a fizicii exprimă echivalența dintre masă și energie:

E = m·c² = γ·m₀·c²

Cazuri particulare pe care examenul le cere separat:

• energia de repaus: E₀ = m₀·c² — energia pe care corpul o are chiar stând nemișcat. Este ideea revoluționară: masa este o formă de energie;
• energia cinetică relativistă: E_c = E − E₀ = (γ − 1)·m₀·c². Formula clasică m₀v²/2 rămâne o bună aproximație doar pentru viteze mici.

Greșeala frecventă la probleme este să calculezi energia cinetică relativistă ca mc²/2 sau ca m₀v²/2. Nici una, nici alta: trebuie scăzută energia de repaus din energia totală.

Consecința practică este uriașă. Într-un gram de substanță, energia de repaus este de aproximativ 9·10¹³ J, echivalentul a mii de tone de combustibil clasic. Defectul de masă din reacțiile nucleare este exact acea fracțiune de masă convertită în energie, iar Soarele pierde astfel, prin fuziune, milioane de tone de masă în fiecare secundă.

Verificarea de coerență: pentru v mult mai mic decât c, γ tinde spre 1, masa relativistă tinde spre m₀, iar E_c tinde spre m₀v²/2. Relativitatea se reduce la mecanica clasică, așa cum trebuie.

Test — 6 întrebări ca la examen