Elemente de fizică cuantică

Introducere în mecanica cuantică, efectul fotoelectric și radiația corpului negru.

Radiația corpului negru. Cuanta lui Planck

Orice corp emite radiație termică, cu un spectru care depinde de temperatura lui. Modelul teoretic folosit este corpul negru: un corp ideal care absoarbe integral radiația incidentă, indiferent de lungimea de undă. Realizarea practică este o cavitate cu un orificiu mic: radiația care intră se reflectă de atâtea ori pe pereți încât practic nu mai iese.

Două legi experimentale se cer memorate cu semnificația lor:

• Legea Stefan-Boltzmann: puterea totală emisă pe unitatea de suprafață este R = σ·T⁴. Dependența de puterea a patra a temperaturii absolute este dramatică: dublarea temperaturii înseamnă de 16 ori mai multă energie emisă.
• Legea deplasării a lui Wien: λ_max·T = b, cu b = 2,9·10⁻³ m·K. Cu cât corpul este mai fierbinte, cu atât maximul spectrului se deplasează spre lungimi de undă mai mici. De aceea un metal încălzit devine întâi roșu, apoi portocaliu, apoi alb-albăstrui, iar stelele albastre sunt mai fierbinți decât cele roșii.

Fizica clasică nu a putut explica forma spectrului. Aplicând echipartiția energiei, ea prezicea o energie care crește nelimitat spre lungimi de undă mici — așa-numita catastrofă ultravioletă, un rezultat absurd, contrazis de orice măsurătoare.

Planck (1900) a rezolvat problema printr-o ipoteză revoluționară: schimbul de energie dintre radiație și pereții cavității nu este continuu, ci se face în porții discrete, numite cuante:

E = h·ν, cu h = 6,626·10⁻³⁴ J·s

Aceasta este actul de naștere al fizicii cuantice. De reținut nuanța istorică cerută la itemi teoretici: Planck a cuantificat schimbul de energie; ideea că lumina însăși este formată din cuante, adică din fotoni, îi aparține lui Einstein, cinci ani mai târziu.

Fotonul. Energie, impuls, masă

Fotonul este cuanta de energie a câmpului electromagnetic — particula de lumină. Mărimile lui caracteristice, cerute la fiecare problemă de fizică cuantică:

• energia: E = h·ν = h·c/λ;
• impulsul: p = E/c = h/λ;
• masa de repaus: zero;
• viteza: c în vid, indiferent de sistemul de referință.

Acest set de proprietăți pare contradictoriu la prima vedere: cum poate o particulă fără masă să aibă impuls? Explicația este că relația clasică p = mv nu se aplică fotonului; el se supune relației relativiste generale E² = p²c² + m₀²c⁴, care pentru m₀ = 0 se reduce exact la E = pc.

Ordinele de mărime merită fixate. Un foton de lumină vizibilă (λ ≈ 500 nm) are energia de aproximativ 2,5 eV, adică 4·10⁻¹⁹ J — un număr minuscul. De aceea nu percepem granularitatea luminii: un bec obișnuit emite peste 10¹⁹ fotoni pe secundă.

Două relații de conversie fără de care problemele nu ies:

• 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J;
• h·c ≈ 1240 eV·nm, o combinație extrem de comodă: energia unui foton în electronvolți este 1240 împărțit la lungimea de undă exprimată în nanometri.

Atenție la o confuzie foarte răspândită: energia fotonului nu depinde de intensitatea fasciculului. Intensitatea spune câți fotoni sosesc în unitatea de timp, iar frecvența spune cât valorează fiecare. Un fascicul roșu foarte puternic este format din foarte mulți fotoni slabi; un fascicul ultraviolet slab conține puțini fotoni, dar fiecare este energic. Această distincție este cheia întregului efect fotoelectric.

Efectul fotoelectric extern

Efectul fotoelectric extern este emisia de electroni de către un metal iluminat cu radiație electromagnetică potrivită.

Cele patru legi experimentale trebuie știute exact, pentru că trei dintre ele contrazic frontal teoria ondulatorie clasică:

1. Efectul se produce doar dacă frecvența depășește o valoare numită frecvență de prag ν₀, caracteristică fiecărui metal. Sub prag, nu apare niciun electron, oricât de intensă ar fi lumina și oricât de mult ai aștepta. 2. Intensitatea curentului de saturație este proporțională cu fluxul luminos (cu numărul de fotoni), deci cu intensitatea luminii. 3. Energia cinetică maximă a electronilor emiși depinde liniar de frecvență și nu depinde deloc de intensitate. 4. Efectul este practic instantaneu (sub 10⁻⁹ s), fără vreo perioadă de acumulare a energiei.

Ecuația lui Einstein, care le explică pe toate:

h·ν = L + E_c max

Un foton este absorbit în întregime de un singur electron. O parte din energie, lucrul de extracție L, se consumă pentru scoaterea electronului din metal; restul devine energie cinetică. De aici:

• frecvența de prag: ν₀ = L/h, respectiv lungimea de undă de prag λ₀ = hc/L, care este o valoare maximă (peste ea efectul nu se mai produce);
• tensiunea de stopare U_s, cea care oprește complet curentul: e·U_s = E_c max.

De ce nu putea explica teoria clasică ondulatorie aceste fapte? Pentru că, în modelul de undă, energia se acumulează treptat și continuu: orice lumină, oricât de slabă, ar trebui să smulgă electroni după un timp de așteptare, iar creșterea intensității ar trebui să crească viteza electronilor. Experimentul spune exact invers, iar explicația este caracterul corpuscular al luminii.

Aplicații: celulele fotoelectrice, senzorii de lumină, fotomultiplicatoarele, panourile solare (bazate pe efectul fotoelectric intern, în semiconductori).

Efectul Compton

Efectul Compton (1923) este împrăștierea razelor X pe electroni slab legați, însoțită de creșterea lungimii de undă a radiației împrăștiate.

Relația care descrie fenomenul:

Δλ = λ′ − λ = (h/m₀c)·(1 − cos θ)

unde θ este unghiul de împrăștiere, iar h/(m₀c) = 2,43·10⁻¹² m este lungimea de undă Compton a electronului.

Ce trebuie citit în această formulă:

• Δλ este întotdeauna pozitiv: fotonul împrăștiat are mereu lungime de undă mai mare, deci energie mai mică decât cel incident. Diferența de energie este preluată de electronul de recul;
• variația nu depinde de lungimea de undă incidentă, ci doar de unghiul de împrăștiere. Pentru θ = 0 nu există modificare, iar pentru θ = 180 de grade (împrăștiere înapoi) modificarea este maximă, 2h/(m₀c);
• efectul devine observabil doar pentru radiații cu λ foarte mic (raze X și gama), pentru că Δλ este de ordinul picometrilor: pentru lumină vizibilă, o astfel de variație ar fi complet neglijabilă în raport cu λ.

Semnificația teoretică este esențială: efectul Compton este o ciocnire elastică între două particule, fotonul și electronul, în care se conservă atât energia, cât și impulsul. Fotonul se comportă aici nu doar ca un pachet de energie, ci ca o particulă cu impuls bine determinat, p = h/λ. Împreună cu efectul fotoelectric, el constituie dovada experimentală decisivă pentru natura corpusculară a radiației electromagnetice.

O comparație utilă de reținut pentru itemii de tip asociere: la efectul fotoelectric fotonul este absorbit complet și dispare, în timp ce la efectul Compton el supraviețuiește, dar cu energie mai mică și cu direcție schimbată.

Unde de materie și relații de incertitudine

Dacă lumina, undă prin excelență, are proprietăți de particulă, de Broglie a propus în 1924 și reciproca: orice particulă are asociată o undă, de lungime

λ = h/p = h/(m·v)

Pentru un electron accelerat de o tensiune U, energia cinetică este eU, deci p = √(2m·e·U), iar λ = h/√(2m·e·U). La o tensiune de 100 V rezultă o lungime de undă de aproximativ 0,12 nm, comparabilă cu distanțele interatomice dintr-un cristal — motivul pentru care electronii pot fi difractați.

Confirmarea experimentală a venit de la Davisson și Germer, care au obținut figuri de difracție trimițând electroni pe un cristal de nichel, și de la experimentele de difracție a electronilor pe folii policristaline. Undele de materie au și o consecință tehnologică majoră: microscopul electronic, a cărui rezoluție e cu ordine de mărime mai bună decât a celui optic, tocmai fiindcă λ asociată electronilor este mult mai mică decât a luminii vizibile.

Dualismul impune o limită principială, exprimată prin relațiile de incertitudine ale lui Heisenberg:

Δx·Δp ≥ h/(4π) și ΔE·Δt ≥ h/(4π)

Interpretarea corectă, cerută frecvent la subiectul teoretic: nu este vorba despre limitele aparatelor de măsură, ci despre o proprietate fundamentală a materiei. O particulă cuantică nu posedă simultan valori exacte pentru poziție și impuls. Cu cât determini mai precis poziția, cu atât impulsul devine mai nedeterminat.

De aici decurge înlocuirea noțiunii de traiectorie cu cea de probabilitate: electronul din atom nu se mai plimbă pe o orbită bine trasată, ci este descris de un orbital, adică de o regiune în care probabilitatea prezenței lui este mare.

Pentru corpurile macroscopice, constanta h fiind extrem de mică, nedeterminările rezultate sunt inobservabile — de aceea mecanica clasică rămâne perfect valabilă la scara noastră. Acesta este principiul de corespondență: rezultatele cuantice trec în cele clasice la scări mari.

Test — 6 întrebări ca la examen