Gravitație

Aprofundarea legii gravitației universale și studiul mișcării corpurilor în câmp gravitațional.

Legea atracției universale

Meritul lui Newton nu a fost să descopere că merele cad, ci să înțeleagă că mărul și Luna ascultă de aceeași lege. Fenomenele terestre și cele cerești, considerate până atunci de naturi complet diferite, au fost unificate într-o singură formulă.

Legea atracției universale: două corpuri punctiforme de mase m₁ și m₂, aflate la distanța r, se atrag cu forțe egale și de sens contrar, de mărime:

• F = G·m₁·m₂/r²

unde G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² este constanta atracției universale, aceeași în tot Universul.

Elementele de reținut riguros:

• Forța este direct proporțională cu produsul maselor și invers proporțională cu pătratul distanței. Pătratul este esențial: dacă distanța se dublează, forța scade de 4 ori, nu de 2 ori. Aceasta este eroarea de proporționalitate cea mai frecventă la itemii de calcul.
• Cele două forțe formează o pereche acțiune-reacțiune: Pământul atrage mărul exact cu aceeași forță cu care mărul atrage Pământul. Diferența spectaculoasă de accelerații vine din diferența de mase, nu din forțe.
• r este distanța dintre centrele corpurilor, nu dintre suprafețe. Pentru un corp aflat la înălțimea h deasupra Pământului, r = R + h — omisiunea razei terestre este o greșeală de rezolvare frecventă.
• Forța este întotdeauna atractivă; nu există gravitație repulsivă.

Legea este universală și de rază infinită, dar practic neglijabilă între obiecte obișnuite, fiindcă G este extrem de mic. Doi oameni aflați la un metru distanță se atrag cu o forță de ordinul 10⁻⁷ N, imposibil de simțit. Gravitația devine dominantă doar la scară astronomică, unde masele sunt uriașe, tocmai pentru că — spre deosebire de forțele electrice — nu poate fi ecranată și nu se anulează prin sarcini de semn contrar.

Câmpul gravitațional. Greutate și imponderabilitate

Corpurile nu acționează unele asupra altora la distanță, prin vid, ci prin intermediul câmpului gravitațional. Intensitatea câmpului gravitațional într-un punct este forța ce ar acționa asupra unității de masă plasate acolo:

• Γ = F/m = G·M/r²

La suprafața Pământului, intensitatea câmpului este chiar accelerația gravitațională:

• g = G·M/R² ≈ 9,8 m/s²

Din această relație se citesc două lucruri cerute constant la examen. Primul: g nu depinde de masa corpului atras — de aceea toate corpurile cad la fel, în absența frecării cu aerul. Al doilea: la înălțimea h deasupra solului,

• g_h = G·M/(R + h)²

deci g scade cu altitudinea, dar mult mai lent decât își imaginează majoritatea elevilor: la altitudinea Stației Spațiale Internaționale (circa 400 km), g are încă aproximativ 89% din valoarea de la sol.

De aici rezultă corectarea unei confuzii răspândite: astronauții de pe ISS nu plutesc pentru că „nu mai există gravitație”. Gravitația este acolo aproape la fel de intensă ca la sol — de altfel, ea este exact motivul pentru care stația rămâne pe orbită în loc să zboare în linie dreaptă. Ei se află în imponderabilitate pentru că stația și tot ce se află în ea cad liber împreună, cu aceeași accelerație. Senzația de greutate apare doar când ceva se opune căderii (podeaua, scaunul), iar în cădere liberă acea reacțiune dispare.

Energia potențială gravitațională a unui sistem de două corpuri:

• E_p = −G·M·m/r

Semnul negativ nu este o convenție arbitrară: el arată că sistemul este legat, iar zero-ul de energie corespunde separării infinite a corpurilor. Cu cât corpurile sunt mai apropiate, cu atât energia potențială este mai negativă, deci legătura mai strânsă. Formula binecunoscută E_p = m·g·h este doar aproximația valabilă pentru înălțimi mici față de raza Pământului.

Mișcarea sateliților artificiali

Un satelit pe orbită circulară de rază r în jurul unei planete de masă M este menținut acolo de forța gravitațională, care joacă rolul de forță centripetă:

• G·M·m/r² = m·v²/r

Simplificând masa satelitului, se obține viteza orbitală:

• v = √(G·M/r)

Două concluzii esențiale:

• Viteza nu depinde de masa satelitului. Un satelit de o tonă și un șurub pierdut de astronaut se mișcă pe aceeași orbită cu exact aceeași viteză.
• Viteza scade cu creșterea razei orbitei. Sateliții de pe orbite joase se deplasează mai repede decât cei îndepărtați — rezultat contraintuitiv, dar direct citibil din formulă.

Perioada de revoluție rezultă din T = 2π·r/v:

• T = 2π·√(r³/(G·M))

Cazul particular cel mai important este satelitul geostaționar: are perioada egală cu perioada de rotație a Pământului (24 de ore), este plasat obligatoriu în planul ecuatorial și se rotește în același sens cu Pământul. Ca urmare, el rămâne permanent deasupra aceluiași punct de pe sol, ceea ce îl face indispensabil pentru telecomunicații și meteorologie. Altitudinea lui rezultă din formula perioadei și este de aproximativ 36 000 km — o valoare fixată de fizică, nu aleasă de ingineri.

O clarificare importantă asupra mecanismului: satelitul nu stă suspendat, ci cade permanent spre Pământ. Diferența este că are o viteză tangențială suficient de mare încât, în timp ce cade, suprafața curbată a Pământului se „retrage” de sub el în același ritm. Orbita este, în esență, o cădere care ratează continuu ținta.

De aici și rolul forței centripete: ea nu este o forță suplimentară care se adaugă gravitației, ci este chiar forța gravitațională, privită prin funcția pe care o îndeplinește. A adăuga în bilanț și greutatea, și forța centripetă separat înseamnă a socoti aceeași forță de două ori — greșeală tipică la problemele de dinamică orbitală.

Vitezele cosmice

Prima viteză cosmică (viteza circulară) este viteza minimă necesară pentru ca un corp lansat orizontal să devină satelit pe o orbită circulară razantă cu suprafața planetei:

• v_I = √(G·M/R) = √(g·R) ≈ 7,9 km/s pentru Pământ

Sub această viteză, corpul descrie o traiectorie balistică și cade înapoi pe suprafață.

A doua viteză cosmică (viteza de eliberare) este viteza minimă necesară pentru ca un corp să se desprindă definitiv din câmpul gravitațional al planetei, adică să ajungă la infinit cu viteză nulă. Se obține din conservarea energiei, punând condiția ca energia mecanică totală să fie zero:

• m·v²/2 − G·M·m/R = 0, de unde v_II = √(2·G·M/R) ≈ 11,2 km/s

Relația dintre ele, foarte utilă la itemii rapizi: v_II = v_I·√2.

A treia viteză cosmică, de aproximativ 16,7 km/s, este viteza necesară pentru părăsirea Sistemului Solar, învingând și atracția Soarelui.

Două observații importante:

• Vitezele cosmice nu depind de masa corpului lansat: o rachetă și o piatră au aceeași viteză de eliberare. Masa influențează energia necesară, nu viteza-prag.
• Ele depind de masa și raza corpului ceresc de care te desprinzi. Pe Lună, viteza de eliberare este de doar 2,4 km/s, motiv pentru care Luna nu a putut reține o atmosferă: moleculele de gaz atingeau, prin agitație termică, viteze comparabile și scăpau în spațiu.

Dus la extrem, acest raționament conduce la o idee remarcabilă: dacă masa unui corp ceresc este suficient de mare și raza suficient de mică, viteza de eliberare ar depăși viteza luminii. Nimic nu ar mai putea scăpa, nici măcar lumina — este descrierea intuitivă a unei găuri negre, deși tratarea ei corectă cere relativitatea generalizată, nu mecanica newtoniană.

Legile lui Kepler

Kepler a formulat legile mișcării planetare înaintea lui Newton, pornind exclusiv de la observațiile astronomice extrem de precise ale lui Tycho Brahe. Ele descriau corect mișcarea, fără să o explice; explicația a venit odată cu legea atracției universale, din care cele trei legi se pot deduce matematic.

Legea I (legea orbitelor): planetele se mișcă pe orbite eliptice, având Soarele situat într-unul dintre focare — nu în centrul elipsei. Punctul cel mai apropiat de Soare se numește periheliu, cel mai depărtat afeliu. Orbitele planetelor sunt însă elipse foarte puțin alungite, aproape circulare.

Legea a II-a (legea ariilor): raza vectoare care unește planeta cu Soarele mătură arii egale în intervale de timp egale.

Consecința fizică, cerută la examen: planeta se mișcă mai repede la periheliu (când este aproape de Soare) și mai încet la afeliu. Explicația modernă este conservarea momentului cinetic: cu cât raza scade, cu atât viteza trebuie să crească pentru ca produsul să rămână constant. Pământul se află la periheliu în ianuarie, deci iarna emisferei nordice — dovadă că anotimpurile sunt cauzate de înclinarea axei, nu de distanța până la Soare, care este eroarea populară cea mai răspândită.

Legea a III-a (legea perioadelor): raportul dintre cubul semiaxei mari a orbitei și pătratul perioadei de revoluție este același pentru toate planetele care orbitează în jurul aceluiași corp:

• T²/a³ = constant, sau, comparând două planete, T₁²/T₂² = a₁³/a₂³

Legea a treia este instrumentul practic cel mai puternic al capitolului: cunoscând perioada unui satelit sau a unei planete, i se poate deduce distanța, și invers. Cu ea se determină și masa corpului central, pentru că din deducția newtoniană rezultă T² = 4π²·a³/(G·M).

Două precizări care evită erori: constanta din legea a treia depinde de corpul central — are o valoare pentru planetele Soarelui și alta pentru sateliții Pământului, deci nu se pot compara între ele. Iar legile lui Kepler sunt valabile pentru orice sistem gravitațional cu un corp central dominant: sateliți artificiali, sistemul lui Jupiter, stele binare.

Test — 6 întrebări ca la examen