Gravitația

Legea gravitației universale și aplicațiile ei la mișcarea corpurilor în câmpul gravitațional.

Legea atracției universale

Newton a formulat ideea revoluționară că forța care face mărul să cadă și forța care ține Luna pe orbită sunt una și aceeași forță.

Legea atracției universale: două corpuri punctiforme se atrag cu o forță direct proporțională cu produsul maselor lor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele:

F = K·m1·m2/r^2

unde K este constanta atracției universale, K = 6,67·10^-11 N·m^2/kg^2. Este o constantă universală: are aceeași valoare oriunde în Univers, spre deosebire de accelerația gravitațională g, care depinde de corpul ceresc și de altitudine.

Detalii care decid punctul la examen:

• r este distanța dintre centrele corpurilor, nu distanța dintre suprafețele lor. Pentru un satelit aflat la altitudinea h deasupra Pământului, r = R + h;
• forțele de atracție formează o pereche acțiune–reacțiune: Pământul atrage mărul exact cu forța cu care mărul atrage Pământul. Diferă efectele, nu forțele, pentru că masele diferă enorm;
• dependența de 1/r^2 înseamnă că la distanță dublă forța scade de patru ori, la distanță triplă de nouă ori. Forța scade rapid, dar nu se anulează niciodată — gravitația are rază de acțiune infinită;
• legea, în această formă, este valabilă pentru corpuri punctiforme sau pentru corpuri sferice omogene, care se comportă ca și cum toată masa ar fi concentrată în centru.

Valoarea foarte mică a lui K explică de ce nu simți atracția dintre două obiecte obișnuite: gravitația devine importantă doar la mase de ordinul planetelor.

Câmpul gravitațional și accelerația gravitațională

Interacțiunea gravitațională se transmite prin câmp gravitațional: regiunea din spațiu în care un corp cu masă exercită acțiuni asupra altor corpuri cu masă.

Mărimea care caracterizează câmpul în fiecare punct este intensitatea câmpului gravitațional:

Γ = F/m

adică forța ce acționează asupra unității de masă plasate în acel punct. Se măsoară în N/kg, unitate identică dimensional cu m/s^2 — de aceea intensitatea câmpului gravitațional coincide numeric cu accelerația gravitațională. Un corp lăsat liber în câmp are accelerația g, indiferent de masa lui.

Combinând G = m·g cu legea atracției universale, la suprafața unui corp ceresc de masă M și rază R:

g = K·M/R^2

De aici rezultă toate concluziile care se cer la itemi:

• g nu depinde de masa corpului atras, ci doar de masa și raza corpului ceresc. Pe Lună g este de circa șase ori mai mic decât pe Pământ pentru că Luna are masă mult mai mică;
• la altitudinea h, g_h = K·M/(R + h)^2, deci accelerația gravitațională scade cu altitudinea;
• pe Pământ, g variază ușor cu latitudinea (aproximativ 9,78 m/s^2 la ecuator și 9,83 m/s^2 la poli), din cauza turtirii Pământului și a rotației lui.

Liniile câmpului gravitațional sunt radiale și îndreptate spre centrul corpului ceresc. La scară mică, pe o porțiune redusă a suprafeței Pământului, câmpul poate fi considerat uniform, iar liniile paralele și verticale — aproximația folosită în toate problemele de mecanică din capitolele anterioare.

Mișcarea sateliților pe orbite circulare

Un satelit pe orbită circulară în jurul Pământului execută mișcare circulară uniformă. Forța centripetă necesară este asigurată exclusiv de forța gravitațională — nu există niciun motor pornit și nicio altă forță.

Egalând cele două expresii, K·M·m/r^2 = m·v^2/r, masa satelitului se simplifică și rezultă:

v = radical din (K·M/r)

Consecința esențială: viteza pe orbită nu depinde de masa satelitului, ci doar de masa Pământului și de raza orbitei. Un satelit de o tonă și unul de zece tone, pe aceeași orbită, au aceeași viteză. Mai mult, cu cât orbita este mai înaltă, cu atât viteza este mai mică, ceea ce contrazice intuiția multor elevi.

Perioada de revoluție se obține din v = 2πr/T:

T^2 = 4π^2·r^3/(K·M)

adică pătratul perioadei este proporțional cu cubul razei orbitei — chiar legea a treia a lui Kepler, dedusă aici din legea atracției universale.

Un caz practic: satelitul geostaționar are perioada egală cu perioada de rotație a Pământului (24 de ore), se află pe orbita ecuatorială la circa 36 000 km altitudine și pare imobil față de un observator de pe Pământ. Pe el se bazează televiziunea prin satelit și o parte din comunicații.

Astronauții de pe Stația Spațială Internațională par lipsiți de greutate nu pentru că gravitația ar dispărea la 400 km altitudine — acolo g este încă circa 8,7 m/s^2 — ci pentru că sunt în cădere liberă permanentă împreună cu stația. Fenomenul se numește imponderabilitate.

Vitezele cosmice

Vitezele cosmice sunt vitezele-prag necesare pentru a atinge diferite regimuri de mișcare în câmpul gravitațional al Pământului.

Prima viteză cosmică (viteza circulară) este viteza minimă pentru ca un corp să devină satelit pe o orbită circulară razantă cu suprafața Pământului:

v1 = radical din (g·R) = radical din (K·M/R), aproximativ 7,9 km/s

Se obține punând condiția ca greutatea să joace rol de forță centripetă chiar la nivelul suprafeței. Sub această viteză, corpul lansat orizontal cade înapoi pe Pământ.

A doua viteză cosmică (viteza de evadare sau de eliberare) este viteza minimă necesară pentru ca un corp să părăsească definitiv câmpul gravitațional al Pământului:

v2 = radical din (2·g·R) = v1 · radical din 2, aproximativ 11,2 km/s

Se deduce din conservarea energiei: energia cinetică inițială trebuie să fie cel puțin egală cu energia necesară pentru a duce corpul la distanță infinită. Relația v2 = v1 · radical din 2 este cerută frecvent ca atare.

A treia viteză cosmică, de circa 16,7 km/s, este viteza necesară pentru a părăsi sistemul solar, învingând și atracția Soarelui.

Două observații de fond. Prima: aceste viteze nu depind de masa corpului lansat, ci doar de masa și raza corpului ceresc de pe care se pleacă. A doua: pentru un corp ceresc suficient de masiv și de compact, viteza de evadare ar depăși viteza luminii — ideea care conduce la noțiunea de gaură neagră.

Legile lui Kepler și mișcarea planetelor

Înainte ca Newton să explice de ce se mișcă planetele așa cum se mișcă, Kepler descrisese cum se mișcă ele, pe baza observațiilor astronomice.

Legea I (legea orbitelor): planetele se mișcă pe orbite eliptice, având Soarele într-unul dintre focare — nu în centrul elipsei. De aceea distanța Pământ–Soare variază pe parcursul anului; punctul cel mai apropiat se numește periheliu, cel mai depărtat afeliu.

Legea a II-a (legea ariilor): raza vectoare care unește Soarele cu planeta mătură arii egale în intervale de timp egale. Consecința directă, cerută la examen: planeta se mișcă mai repede când este mai aproape de Soare și mai încet când este mai departe. Viteza nu este constantă pe orbita eliptică.

Legea a III-a (legea perioadelor): raportul dintre pătratul perioadei de revoluție și cubul semiaxei mari a orbitei este același pentru toate planetele sistemului solar:

T^2/a^3 = constant

De aici rezultă că planetele îndepărtate au perioade mult mai lungi: Neptun face un ocol complet al Soarelui în circa 165 de ani tereștri.

Meritul lui Newton este că a arătat că toate cele trei legi decurg din legea atracției universale și din principiile mecanicii. Legile lui Kepler sunt valabile și pentru sateliții artificiali în jurul Pământului, cu Pământul în locul Soarelui.

Capcană frecventă: legea a treia leagă perioade și raze, nu perioade și mase. Masa planetei nu apare deloc în relație — încă o consecință a faptului că masa satelitului se simplifică.

Test — 6 întrebări ca la examen